Первая квадратичная форма поверхности. Длина кривой на поверхности, угол между кривыми, площадь поверхности.

Пусть F – элементарная поверхность, = r(u, v) – её параметрическое уравнение, где вектор-функция r : U –®F гладкая и регулярная. Пусть M= r(u_o, v_o) – произвольная точка на F, а и – два вектора из касательной плоскости к поверхности F в точке M. Тогда мы можем разложить эти векторы по базису {r_u, r_v} (r_u= r_u(u_o, v_o), r_v= r_v(u_o, v_o)):

= x₁r_u+ x₂r_v, = h₁r_u+ h₂r_v.

Вычислим скалярное произведение этих векторов:

· = (x₁r_u+ x₂r_v)·( h₁r_u+ h₂r_v) =

= x₁ h₁(r_u· r_u) + (x₁ h₂+ x₂ h₁)(r_u· r_v) + x₂ h₂(r_v· r_v).

Обозначим E = r_u· r_u, F = r_u· r_v, G = r_v· r_v. В точке M это числа, а, в целом, на поверхности – это функции от u и v. Тогда

· = E x₁h₁+ F(x₁h₂+ x₂h₁) + G x₂h₂ Þ (9)

Þ · = E x₁²+ 2F x₁x₂+ G x₂². (10)

Выражение в правой части (10) называется первой квадратичной формой поверхности и обозначается I(, ). Выражение в правой части (9) называется первой фундаментальной формой поверхности и обозначается I(,).

Векторы, параллельные касательной плоскости к F в точке M, образуют двумерное векторное пространство. Первая фундаментальная форма с коэффициентами, вычисленными при (u, v) = (u_o, v_o) представляет собой билинейную функцию, определенную на этом векторном пространстве, полярную квадратичной форме I(, ) определенной там же (см. приложение). Коэффициенты билинейной функции зависят от выбора базиса в векторном пространстве. Поэтому, если мы вместо {r_u, r_v} выберем другой базис в касательной плоскости к F в точке M, то числа E , F , G изменятся. Поэтому E , F , G зависят от выбора конкретной параметризации элементарной поверхности F. Но значение I(, ) для тех же самых векторов , не изменится.

По определению I(, ) = · , т.е. можно сказать, что I(,) представляет собой просто формулу для вычисления скал. произведения векторов, если известны их координаты в базисе {r_u,r_v}, а матрица этой билинейной функции

E F

F G

представляет матрицу Грама базиса {r_u, r_v}. Поэтому её определитель EG – F ²>0. Зная формулу (9), мы можем найти также длину вектора и угол a = Ð(, ) между векторами:

| | = = ,

cos a = = .

Пусть g₁ и g₂ – две кривые на поверхности F, которые пересекаются в точке M= r(u_o, v_o). Тогда углом между этими кривыми в точке M называется угол между касательными прямыми к ним в этой точке. Пусть = c(t) и = h(t) – параметрические уравнения данных кривых в пространстве и M= c(t_o) = h(t_o). Тогда угол между g₁ и g₂ можно найти так:

cos a = ,

используя координаты векторов c¢(t_o) и h¢(t_o) в пространстве. Но, как правило, по условию задачи нам бывают известны внутренние уравнения кривых:

u = u₁(t), u = u₂(t),

v = v₁(t), v = v₂(t),

Следовательно, нам известны координаты векторов c¢(t_o) и h¢(t_o) только в базисе {r_u, r_v}:

c¢(t_o) = (u₁¢(t_o), v₁¢(t_o)), h¢(t_o) = (u₂¢(t_o), v₂¢(t_o)).

Тогда

cos a= =

= .

Пусть кривая g на поверхности F задана уравнениями

u = u(t),

v = v(t),

A(u_o, v_o)Îg, B(u₁, v₁)Îg – две точки на кривой, u_o= u(a), v_o= v(a), u₁= u(b), v₁= v(b). Пусть c(t) = r(u(t), v(t)). Тогда, как мы уже знаем, длина дуги вычисляется по формуле

l= | c¢(t)| dt.

Нам известны координаты вектора c¢(t) в базисе {r_u, r_v}: c¢(t) = (u¢(t), v¢(t)), поэтому его длину мы можем найти с помощью первой квадратичной формы. Тогда

l= dt = dt. (11)

Пусть F – элементарная поверхность, r : U –®F – её регулярная параметризация. Пусть V – область на поверхности F, а W= r ^–1(V ) – область на U. Тогда V можно рассматривать саму по себе как элементарную поверхность, а r : W –®V – ее параметризация. Поэтому вместо того, чтобы говорить о площади области на поверхности мы будем говорить о площади поверхности.

Определение. Разобьем поверхность V на маленькие кусочки V_i, каждый из которых однозначно проецируется в касательную плоскость к V в некоторой точке M_iÎ V_i . Обозначим s_i – площадь проекции V_i , а d_i – диаметр V_i . Пусть d = d_i . Тогда площадью поверхности V называется величина

S = ( s_i).

Поясним это определение. Мы знаем, что такое площадь плоской области. Пусть V¢ – область на поверхности. Выберем точку M¢Î V¢ и спроецируем область V¢ в касательную плоскость к поверхности в точке M¢. Если V¢ достаточно мала, то проекция будет биекцией и V¢ мало отличается от своей проекции. Тогда мы можем считать, что площадь V¢ приближенно равна площади проекции. Чем мельче область, тем точнее будет приближение. Чтобы приближенно вычислить площадь поверхности надо ее разбить на очень маленькие области и просуммировать площади их проекций. Чем мельче будет разбиение, тем точнее будет приближение. Предел этих сумм при измельчении разбиения и дает площадь поверхности.

Примем без доказательства, что

S(V ) = | r_u´ r_v| dudv. (12)

Для любых векторов и выполнено | ´ |² = ^{2 2}– ( · )². Отсюда | r_u´ r_v|²= EG – F ² и

S(V ) =dudv. (12¢)

Определение. Объектами внутренней геометрии поверхности называются все величины, которые можно вычислить с помощью одной только первой квадратичной формы поверхности.

Определение. Говорим, что простая поверхность F₁ получена изгибанием простой поверхности F, если существует гомеоморфизм h: F –®F₁, который сохраняет длины кривых на поверхности.

Например, при изгибании плоской бумажной полосы мы можем получить круговой цилиндр (с разрезом по образующей). При изгибании плоского сектора мы можем получить коническую поверхность. Оказывается, существуют и более сложные поверхности, которые допускают изгибания. Например, любая область на сфере,

допускает изгибание, если она полностью помещается на полусфере.

Примем без доказательства, что при изгибаниях поверхности сохраняется ее I квадратичная форма, а следовательно, и все объекты внутренней геометрии поверхности.

Мы выяснили, что к ним относятся длина кривой на поверхности, угол между кривыми, площадь области на поверхности. Примем без доказательства, что гауссова кривизна поверхности (см. §4) тоже может быть вычислена с помощью одной только первой квадратичной формы. Все эти величины не изменяются при изгибаниях поверхности.

Замечание. Иногда используется дифференциальная форма записи первой квадратичной формы: ds² = Edu² + 2Fdudv + Gdv². В этом случае ds означает дифференциал длины дуги кривой. Данная запись оказывается полезной, когда требуется составить дифференциальное уравнение кривой на поверхности, обладающей некоторым заданным свойством.