Соприкасающийся параболоид к поверхности.

Определение. Пусть две поверх-ности F и F имеют общую точку P и общую касательную плоскость p в этой точке. Пусть SÎF – близкая к P точка. Проведем через S прямую, перпендикулярную плоскости p. Она пересечет F в некоторой точке Q . Обозначим d = | PS | , d=|QS | . Говорят, что поверхности F и F соприкасаются в точке P, если = 0.

Теорема 3. Пусть F – регулярная поверхность класса C². Тогда в каждой ее точке существует, и притом единственный, соприкасающийся параболоид, который может вырождаться в параболический цилиндр или плоскость.

Доказательство. Пусть PÎF – произвольная точка, а p – касательная плоскость к F в точке P. Введем в пространстве декартову СК Oxyz так, чтобы P = O, а p совпадала с Oxy.Тогда поверхность F в окрестности точки P можно задать уравнением в явном виде

z = f(x, y).

При этом, j(0, 0) = 0. В соответствии с (7) уравнение касательной плоскости в точке P имеет вид

z = x · f_x(0, 0) + y · f_y(0, 0).

Но в нашей СК касательная плоскость имеет уравнение z = 0. Значит,

f_x(0, 0) = f_y(0, 0) = 0. (*)

Поэтому разложение функции f(x, y) в ряд Тейлора в окрестности точки (0, 0) имеет вид:

f(x, y) = (f_xxx² + 2f_xyxy + f_yyy²) + e(x, y)(x² + y²),

где e(x, y) –®0 при x, y –®0. Значит, уравнение поверхности F в окрестности точки P имеет вид

z = (f_xxx² + 2f_xyxy + f_yyy²) + e(x, y)(x² + y²).

(все производные вычисляются в точке (0, 0)). Определим поверхность F уравнением

z = (f_xxx² + 2f_xyxy + f_yyy²). (**)

Пусть S(x, y, z)ÎF – близкая к P точка. Тогда точка QÎF имеет те же координаты x, y, что и точка S, т.е. Q(x, y, z¢)Þ

d = z – z¢= e(x, y)(x² + y²) , d = | OS | = ;

= –®0

при x, y –®0, т.к. 0 £ £ 1.

Выясним, какого типа поверхность F определяется уравнением (**). С учетом (*), формулы (13) дают L = f_xx, M = f_xy, N = f_yy. Значит,

уравнение F имеет вид

2z = L x ² + 2M xy + N y² . (22)

Если мы, к тому же, направим координатные оси Ox и Oy по главным направлениям поверхности F в точке P, то уравнение F примет вид

2z = n₁x² +n₂y² .

Теперь очевидно, что для эллиптической точки P поверхность F будет эллиптическим параболоидом, для гиперболической – гиперболическим параболоидом; для параболической точки P уравнение F примет вид

2z = n₁x² или 2z = n₂y²,

а значит F будет параболическим цилиндром. В точке уплощения имеем уравнение 2z = 0 Þ F будет плоскостью.

Единственность соприкасающегося параболоида примем без доказательства.

Мы выяснили, что

1) ближайшая окрестность эллиптической точки P похожа на окрестность вершины эллиптического параболоида;

2) ближайшая окрестность гиперболической точки имеет седлообразную форму, как область на гиперболическом параболоиде.

3) ближайшая окрестность параболической точки похожа на область на параболическом цилиндре.

4) ближайшая окрестность точки уплощения мало отличается от плоской области, но более точное изучение может показать, что эта окрестность имеет очень сложную структуру.

Пусть F – соприкасающийся

параболоид к поверхности F в точке PÎ F. Пусть декартова СК в пространстве выбрана также, как и в доказательстве теоремы и (22) – уравнение F. Рассмотрим сечение F плоскостью z = ±1/2 . Получившуюся кривую спроецируем в касательную плоскость. Тогда уравнение проекции g будет n₁x² +n₂y² = ±1. Значит g будет индикатрисой кривизны.

Заметим, что в точке P первая и вторая квадратичные формы для F и для F одинаковы. Отсюда следует, что нормальная кривизна поверхности и ее соприкасающегося параболоида в любом направлении одинакова.