![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Соприкасающийся параболоид к поверхности.
Теорема 3. Пусть F – регулярная поверхность класса C2. Тогда в каждой ее точке существует, и притом единственный, соприкасающийся параболоид, который может вырождаться в параболический цилиндр или плоскость. Доказательство. Пусть PÎF – произвольная точка, а p – касательная плоскость к F в точке P. Введем в пространстве декартову СК Oxyz так, чтобы P = O, а p совпадала с Oxy.Тогда поверхность F в окрестности точки P можно задать уравнением в явном виде z = f(x, y). При этом, j(0, 0) = 0. В соответствии с (7) уравнение касательной плоскости в точке P имеет вид z = x · fx(0, 0) + y · fy(0, 0). Но в нашей СК касательная плоскость имеет уравнение z = 0. Значит, fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0. (*) Поэтому разложение функции f(x, y) в ряд Тейлора в окрестности точки (0, 0) имеет вид: f(x, y) = (fxxx2 + 2fxyxy + fyyy2) + e(x, y)(x2 + y2), где e(x, y) –®0 при x, y –®0. Значит, уравнение поверхности F в окрестности точки P имеет вид z = (fxxx2 + 2fxyxy + fyyy2) + e(x, y)(x2 + y2). (все производные вычисляются в точке (0, 0)). Определим поверхность F уравнением z = (fxxx2 + 2fxyxy + fyyy2). (**) Пусть S(x, y, z)ÎF – близкая к P точка. Тогда точка QÎF имеет те же координаты x, y, что и точка S, т.е. Q(x, y, z¢)Þ d = z – z¢= e(x, y)(x2 + y2) , d = | OS | = ; = –®0 при x, y –®0, т.к. 0 £ £ 1. Выясним, какого типа поверхность F определяется уравнением (**). С учетом (*), формулы (13) дают L = fxx, M = fxy, N = fyy. Значит, уравнение F имеет вид 2z = L x 2 + 2M xy + N y2 . (22) Если мы, к тому же, направим координатные оси Ox и Oy по главным направлениям поверхности F в точке P, то уравнение F примет вид 2z = n1x2 +n2y2 . Теперь очевидно, что для эллиптической точки P поверхность F будет эллиптическим параболоидом, для гиперболической – гиперболическим параболоидом; для параболической точки P уравнение F примет вид 2z = n1x2 или 2z = n2y2,
Мы выяснили, что 1) ближайшая окрестность эллиптической точки P похожа на окрестность вершины эллиптического параболоида;
3) ближайшая окрестность параболической точки похожа на область на параболическом цилиндре.
Пусть F – соприкасающийся параболоид к поверхности F в точке PÎ F. Пусть декартова СК в пространстве выбрана также, как и в доказательстве теоремы и (22) – уравнение F. Рассмотрим сечение F плоскостью z = ±1/2 . Получившуюся кривую спроецируем в касательную плоскость. Тогда уравнение проекции g будет n1x2 +n2y2 = ±1. Значит g будет индикатрисой кривизны. Заметим, что в точке P первая и вторая квадратичные формы для F и для F одинаковы. Отсюда следует, что нормальная кривизна поверхности и ее соприкасающегося параболоида в любом направлении одинакова.
|