Теорема Гаусса-Бонне.

Пусть g – произвольная кривая на поверхности F, точка PÎg. Спроецируем g в касательную плоскость к поверхности в точке P. Получим кривую . Обозначим кривизну кривой в точке P через k_g . Тогда величина k_g называется геодезической кривизной кривой g в точке P.

Пусть = c(t) – параметрическое уравнение кривой g. Тогда (без доказательства) k_g вычисляется по формуле

k_g = . (24)

При этом, g является геодезической тогда и только тогда, когда числитель в этой формуле равен нулю. Поэтому мы можем определить геодезическую, как кривую у которой геодезическая кривизна равна нулю. Геодезическая при проекции в касательную плоскость дает кривую, которая очень мало отличается от прямой в окрестности точки P.

Теорема Гаусса-Бонне. Пусть G – область на поверхности, гомеоморфная кругу и ограниченная кусочно-гладкой регулярной кривой g. Пусть a₁,…, a_n – внутренние углы в точках излома. Тогда

k_gds + (p – a_i) = 2p – Kds. (25)

В частности, если точек излома нет, то получаем формулу

k_gds = 2p – Kds,

а если все участки кривой g – геодезические, то G называется геодезическим многоугольником, и (23) принимает вид:

(p – a_i) = 2p – Kds.

Для геодезического треугольника из последней формулы получаем

(p – a₁) + (p – a₂) + (p – a₃) = 2p – Kds. Û

Û a₁+ a₂ + a₃ = p + Kds.

Значит, если гауссова кривизна поверхности положительна, то сумма углов геодезического треугольника больше 180^o, а если отрицательна – то меньше 180^o. На практических занятиях мы вычислим, что для сферы K = 1/R². Значит, под двойным интегралом находится постоянная величина. Отсюда для геодезического треугольника на сфере

a₁+ a₂ + a₃ = p + > p,

где S(G) – площадь треугольника. Мы видим, что чем больше площадь треугольника, тем больше сумма его углов. При этом, сумма углов не зависит от формы треугольника, а только от его площади.

В параграфе 10 мы изучим пример поверхности постоянной отрицательной гауссовой кривизны K = -1/a² (псевдосфера). Для неё сумма углов геодезического треугольника p - S(G)/a² < p. На этой поверхности локально имеет место геометрия Лобачевского, о которой мы будем говорить подробно при изучении раздела «Основания геометрии». Как доказал Д.Гильберт (1901 г.), не существует поверхности в трёхмерном евклидовом пространстве, изометричной плоскости Лобачевского.