Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Теорема Гаусса-Бонне.




Читайте также:
  1. II. Теорема Декарта
  2. Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная кривизна поверхности. Теорема Менье.
  3. Касательная кривой. Теорема о касательной.
  4. Метатеорема MT_Not_2
  5. Метрический тензор Римана: новая теорема Пифагора
  6. Теорема
  7. Теорема 6. регулярная кривая g класса с3 имеет кручение в каждой точке, где кривизна отлична от нуля. Если c(s) – естественная параметризация кривой g , то
  8. ТЕОРЕМА IV
  9. ТЕОРЕМА XIII
  10. ТЕОРЕМА XV

Пусть g – произвольная кривая на поверхности F, точка PÎg. Спроецируем g в касательную плоскость к поверхности в точке P. Получим кривую . Обозначим кривизну кривой в точке P через kg . Тогда величина kg называется геодезической кривизной кривой g в точке P.

Пусть = c(t) – параметрическое уравнение кривой g. Тогда (без доказательства) kg вычисляется по формуле

kg = . (24)

При этом, g является геодезической тогда и только тогда, когда числитель в этой формуле равен нулю. Поэтому мы можем определить геодезическую, как кривую у которой геодезическая кривизна равна нулю. Геодезическая при проекции в касательную плоскость дает кривую, которая очень мало отличается от прямой в окрестности точки P.

Теорема Гаусса-Бонне. Пусть G – область на поверхности, гомеоморфная кругу и ограниченная кусочно-гладкой регулярной кривой g. Пусть a1,…, anвнутренние углы в точках излома. Тогда

kgds + (p ai) = 2p – Kds. (25)

В частности, если точек излома нет, то получаем формулу

kgds = 2p – Kds,

а если все участки кривой g – геодезические, то G называется геодезическим многоугольником, и (23) принимает вид:

(p ai) = 2p – Kds.

Для геодезического треугольника из последней формулы получаем

(p a1) + (p a2) + (p a3) = 2p – Kds. Û

Û a1+ a2 + a3 = p + Kds.

Значит, если гауссова кривизна поверхности положительна, то сумма углов геодезического треугольника больше 180o, а если отрицательна – то меньше 180o. На практических занятиях мы вычислим, что для сферы K = 1/R2. Значит, под двойным интегралом находится постоянная величина. Отсюда для геодезического треугольника на сфере

a1+ a2 + a3 = p + > p,

где S(G) – площадь треугольника. Мы видим, что чем больше площадь треугольника, тем больше сумма его углов. При этом, сумма углов не зависит от формы треугольника, а только от его площади.

В параграфе 10 мы изучим пример поверхности постоянной отрицательной гауссовой кривизны K = -1/a2 (псевдосфера). Для неё сумма углов геодезического треугольника p - S(G)/a2 < p. На этой поверхности локально имеет место геометрия Лобачевского, о которой мы будем говорить подробно при изучении раздела «Основания геометрии». Как доказал Д.Гильберт (1901 г.), не существует поверхности в трёхмерном евклидовом пространстве, изометричной плоскости Лобачевского.




Дата добавления: 2015-09-14; просмотров: 12; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.009 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты