Эйлерова характеристика поверхности.

Определение. Поверхность называется замкнутой, если она ограничена и не имеет границы (края).

Примеры замкнутых поверхностей: куб, сфера, эллипсоид, тор. Если же мы попробуем взять ограниченную часть эллиптического параболоида или плоскости, то у них обязательно будет граница; поэтому эти поверхности не являются замкнутыми.

Пусть F – замкнутая поверхность. Разобьем её на многоугольные области G_k, гомеоморфные кругу, так чтобы две соседние области пересекались либо в одной точке – вершине, либо по общей стороне – ребру. Это означает, что в случае, изображенном на рисунке, ребро AB многоугольника G₁следует разбить на два ребра.

Обозначим G – количество многоугольников – граней в разбиении, Р – количество ребер, В – количество вершин. Применим к каждому многоугольнику формулу (25):

k_gds + (p – a _i^k) = 2p – Kds.

Сложим все эти равенства.

Справа двойные интегралы по каждому многоугольнику в сумме дадут интеграл по всей поверхности F, а число 2p повторится G раз. Значит, справа получим

2pG – Kds.

Слева. Для того, чтобы вычислить интеграл по границе многоугольника мы должны выбрать направление обхода, и это направление должно быть единым для всех многоугольников. В этом случае направление прохождения общего ребра, при рассмотрении двух соседних многоугольников,

будет противоположным (см. замечание ниже). Поэтому интегралы по общему ребру при сложении сократятся. Но каждое ребро входит ровно в два многоугольника. Поэтому все интегралы k_gds сократятся. Число p слева при сложении повторится столько раз, сколько всего углов в разбиении. Но в каждом многоугольнике количество углов равно количеству сторон. Поскольку каждое ребро входит в два многоугольника, то оно будет посчитано дважды. Значит, число p повторится 2Р раз. Сумма a _i^k– это сумма всех углов в разбиении. Но вокруг каждой из вершин сумма углов = 2p. Значит, полная сумма углов = 2pВ. Итак, получим равенство

2pР – 2pВ = 2pG – Kds. Û

Û В – Р + Г = Kds .

Это равенство показывает, что число слева не зависит от разбиения поверхности F на многоугольные области. Оно называется Эйлеровой характеристикой поверхности и обозначается c(F).

Пусть две замкнутые поверхности F₁ и F₂ гомеоморфны, и f : F₁ –®F₂ – гомеоморфизм. Тогда f переводит разбиение одной поверхности в разбиение другой, имеющее то же самое количество вершин, ребер и граней. Значит, c(F₁) = c(F₂). Примем без доказательства, что верно и обратное: если эйлеровы характеристики двух замкнутых поверхностей совпадают, то эти поверхности гомеоморфны. Хотя, речь у нас шла только о гладких поверхностях, последние два утверждения верны и для произвольных замкнутых поверхностей. Требуется только другой метод доказательства. Он приводится в рамках спецкурса по топологии.

Любой выпуклый многогранник гомеоморфен сфере. Значит, для всех многогранников число В – Р + Г одинаково. Для куба, например, В = 8, Р = 12, Г = 6. Значит, для любого выпуклого многогранника В – Р + Г = 2. Также и c(S²) = 2 (S² – общепринятое обозначение для двумерной сферы).

На данном рисунке изображено разбиение тора T² , имеющее 1 грань, 2 ребра и 1 вершину. Значит, c(T²) = 0. Это означает, что невозможно построить гомеоморфизм f : S² –®T².

Замечание. Не на всякой поверхности можно задать единое направление обхода многоугольников против часовой стрелки. Для этого должно быть определено, какая из сторон поверхности является внешней. Существуют односторонние поверхности типа листа Мёбиуса (перекрученной замкнутой ленты). Но лист Мёбиуса не является замкнутой поверхностью, т.к. имеет границу; а все замкнутые односторонние

поверхности «не помещаются» в трёхмерное пространство. Заметим, что все замкнутые двусторонние поверхности имеют чётную эйлерову характеристику, а все односторонние – нечётную эйлерову характеристику. Более подробно данная тема изучается в рамках спецкурса по топологии.