Кривизна и кручение кривой. Формулы Френе.

Определение. Пусть g – регулярная кривая, PÎg – любая точка, а QÎg – близкая к ней точка. Обозначим: a – угол между касательными к кривой в точках Р и Q, Ds – длина дуги PQ. Если существует предел

= k,

то эта величина называется кривизной кривой g в точке Р. Другими словами,

кривизна кривой – это скорость поворота её касательной.

Теорема 4.Регулярная кривая g класса С² в каждой своей точке имеет кривизну. Если = c(s) – уравнение кривой с естественным параметром, то k = |(s)|.

Доказательство. Пусть Р = c(s), Q = c(s + Ds), тогда векторы (s) и (s + Ds) будут единичными направляющими векторами касательных в этих точках. Отложим их из одной точки. Получим равнобедренный треугольник с боковой стороной равной 1. Тогда находим основание:

|(s + Ds) – (s)| = 2sin .

Отсюда

= = = · .

Перейдем здесь к пределу при Ds ® 0.

|(s)| = ·= 1· k ,

т.к. при Ds® 0 также a® 0. Что и требовалось доказать.

Примем без доказательства, что для кривой заданной уравнением с произвольным параметром

k = = . (11)

Если кривая расположена на плоскости, то мы имеем c₃ º 0. Поэтому получаем формулу для плоских кривых:

k = . (11¢)

(в данном случае mod означает числовой модуль).

Если кривая на плоскости задана уравнением в явном виде y=f(x), то мы можем переписать его в параметрическом виде

x = t, y=f(t).

Применим формулу (11¢):

k = .

Раскроем определитель и заменим обратно t на x. Окончательно получаем:

k = . (12)

Теорема 5.1) Если кривизна кривой равна нулю всюду, то эта кривая есть прямая линия.

2) Если кривая плоская и ее кривизна постоянна k=k_o= const>0, то это кривая – дуга окружности радиуса R =1/ k_o .

Доказательство. Докажем только первый пункт. Пусть = c(s) – параметрическое уравнение кривой с естественным параметром. Имеем k = |(s)| º 0 Û (s) º . В развёрнутом виде получаем систему дифференциальных уравнений, и находим её решение:

Û Û

где b₁, b₂, b₃ – постоянные величины. Получили параметрические уравнения прямой.

Определение. Пусть g некоторая кривая, Р – точка на ней, Q, R – близкие к ней точки; если при Q и R стремящихся к Р окружность w стремится занять определенное положение w_o, то окружность w_o называется соприкасающейся окружностью к кривой g в точке Р, а её центр O и радиус R называются центром и радиусом кривизны кривой g в точке Р.

Примем без доказательства, что g и w_o имеют в точке Р одинаковую кривизну, а поскольку кривизна окружности радиуса R равна 1/R, то R = 1/k . Центр кривизны кривой в точке P лежит на главной нормали к кривой в точке P.

Определение. Пусть g – некоторая кривая, Р – точка на ней, QÎg – близкая к Р точка, а q – угол между соприкасающимися плоскостями в точках Р и Q, Ds – длина дуги . Если существует предел , то он называется абсолютным кручением

кривой g в точке Р и обозначается |k| (греческая буква “каппа”). То есть абсолютное кручение – это скорость поворота соприкасающейся плоскости.

При этом очевидно, что угол между соприкасающимися плоскостями будет равен углу между бинормалями в точках Р и Q .