Непрерывные отображения. Гомеоморфизм.

Напомним определение непрерывной функции курса математического анализа.

Определение. Числовая функция f:R–®R называется непрерывной в точке x_o, если "e>0 $d>0 такое, что |x – x_o|<dÞ|f(x) – f(x_o)|<e.

Это определение можно переформулировать на языке открытых шаров.

Определение. Числовая функция f:R–®R называется непрерывной в точке x_o, если "e>0 $d>0 такое, что xÎU(x_o,d)Þ f(x)ÎU(f(x_o),e).

Это определение годится и для отображения двух метрических пространств f: (M, r)–®(N, r₁). Можно также записать его в следующем виде.

Определение. Пусть (M, r) и (N, r₁) – два метрических пространства. Отображение f: M –®N называется непрерывным в точке x_oÎM, если "e>0 $d>0 такое, что f(B(x_o,d))Ì B(y_o,e), где y_o= f(x_o).

Смысл этого определения: точки близкие к x_o после отображения оказываются близкими к y_o: каким бы маленьким ни был открытый шар

с центром в y_o, найдется такой шар с центром в x_o, который отображается внутрь первого шара. Для того, чтобы получить определение непрерывного в точке отображения двух топологических пространств достаточно заменить открытые шары на произвольные окрестности.

Определение. Пусть (X, t) и (Y, t₁) – два топологических пространства. Отображение f: X –®Y называется непрерывным в точке x_oÎX, если для каждой окрестности V точки y_o= f(x_o)ÎY найдется такая окрестность U точки x_o, что f(U)Ì V.

Условие, использованное в определении: «для каждой окрестности V точки y_o= f(x_o)ÎY найдется такая окрестность U точки x_o, что f(U)ÌV» называется условием Коши. Отображение f: X –®Y называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке x_oÎX.

Теорема 3. Отображение f: X –®Y двух топологических пространств непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз каждого открытого множества VÌY есть открытое множество f^-1(V)=UÌX (без доказательства).

Определение. Отображение f: X –®Y двух топологических пространств называется открытым, если образ любого открытого в X множества U есть открытое в Y множество V=f(U).

Определение. Отображение f: X –®Y двух топологических пространств называется гомеоморфизмом или топологическим отображением, если это отображение

1) биективное (т.е. взаимно-однозначное отображение X на всё Y );

2) непрерывное;

3) открытое.

Это равносильно тому, что f обратимо и оба отображения f и f^–1 являются непрерывными.

Получается, что топологическое отображение f: X –®Y устанавливает взаимнооднозначное соответствие между открытыми множествами пространства (X, t) и открытыми множествами пространства (Y, t₁). Поэтому с точки зрения топологии пространства (X, t) и (Y, t₁) устроены одинаково, если между ними существует гомеоморфизм

f: X –®Y. В этом случае эти пространства называются гомеоморфными или топологически эквивалентными.

Примеры. 1.Открытый интервал (–1, 1) и вся числовая прямая гомеоморфны. Гомеоморфизм устанавливает отображение f: (–1, 1) –®R, f(x)=tg x.

2.Сфера S² и плоскость R² не гомеоморфны. Однако, если из сферы выколоть одну точку, то оставшееся множество будет гомеоморфно плоскости. Гомеоморфизм устанавливает, так называемая, стереографическая проекция p: S²\{N} –®R² (см. рисунок ниже).

Когда речь идёт о поверхностях, гомеоморфизм можно наглядно представить так. Мы можем поверхность как угодно мять, сжимать и растягивать (как резиновую), нельзя только разрезать и склеивать. Всё, что в результате получится будет гомеоморфно исходной поверхности.

3.Сфера и любой выпуклый многогранник (тетраэдр, куб…) гомеоморфны. Для того, чтобы построить гомеоморфизм мы поместим многогранник внутрь сферы, так чтобы центр сферы находился внутри многогранника и спроецируем его из центра на поверхность сферы.

Для того, чтобы доказать, что поверхности или кривые гомеоморфны, достаточно построить гомеоморфизм. Если гомеоморфизм построить не удаётся, это ещё не означает, что он не существует. Поэтому для доказательства того, что два топологических пространства не гомеоморфны, надо найти такие величины, которые сохраняются при гомеоморфизме. Они называются топологическими инвариантами. Это одна из тем спецкурса по топологии, который вы можете прослушать на 4 или 5 курсе в рамках «дисциплины по выбору». Приведём лишь один пример.

4.Топологическим инвариантом для кривых является наличие и количество разбивающих точек. Например, удалив из прямой одну точку, мы разобьем её на два несвязных множества. Если из окружности удалить одну точку, то она останется связной. Следовательно, окружность S¹ и числовая прямая не гомеоморфны.