Между множествами. Диаметр множества.

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ.

Понятие метрического пространства. Расстояние

между множествами. Диаметр множества.

Напомним, что в точечном евклидовом пространстве Eⁿрасстояние между точками P(x₁, x₂,… x_n), Q(y₁, y₂,… y_n) вычисляется по формуле

r(P, Q) = ,

если координаты точек заданы относительно ортонормированной системы координат. Мы можем рассматривать это расстояние, как функцию, сопоставляющую двум точкам P и Q число r(P, Q). Функция r обладает следующими свойствами:

1. r(P, Q) = r(Q, P);

2. r(P, Q) + r(Q, R) ³ r(P, R) (неравенство треугольника);

3. r(P, Q) ³ 0, и r(P, Q) = 0 Û P = Q.

Пусть теперь M – произвольное множество, элементы которого будем называть точками. Пусть на M задана функция r, сопоставляющая любым двум точкам P, QÎM число r(P, Q), которое называется расстоянием между этими точками, и такая что выполнены свойства (аксиомы) 1, 2, 3. Тогда пара (M, r) называется метрическим пространством, а функция r – метрикой.

Примеры 1. Пусть V – произвольное подмножество евклидова пространства. Расстояние между двумя точками P, QÎV будем считать таким же, как во всем пространстве. Тогда (V, r) – метрическое пространство. Метрика r называется индуцированной из Eⁿ.

2.Сфера S² в трехмерном геометрическом пространстве. Расстояние r₁ между P, QÎ S²определяется как длина кратчайшей кривой по поверхности, соединяющей P и Q. Как известно, этой кривой является дуга большой окружности (у которой радиус равен радиусу сферы).

Мы также можем определить расстояние как в примере 1: r(P, Q) – это длина хорды PQ. Тогда (S², r₁) и (S², r) – это разные метрические пространства.

3.Определим на плоскости расстояние между точками A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) по формуле r₂(A, B)=|x₂ - x₁|+|y₂ - y₁|. Получается, что r₂(A, B) равно длине ломаной AMB, изображённой на следующем чертеже.

Упражнение. Самостоятельно про-верьте, что для плоскости с метрикой r₂ выполняются все аксиомы метрического пространства.

Диаметром множества V в метрическом пространстве (M, r) называется точная верхняя грань расстояний между точками этого множества:

d(V) = r(P, Q).

Расстоянием между двумя множествами V, W называется точная нижняя грань расстояний между точками этих множеств:

r(V, W) = r(P, Q).

В частности, если одно из множеств состоит из одной точки, то получаем определение расстояния от точки до множества.

Почему в этом определении супрэмум, а не максимум, инфинум, а не минимум? Поясним на примере.

Пример. Пусть V – это открытый (без границы) круг радиуса 1 на плоскости с центром в начале координат, а W = Q(2,0). Тогда d(V) = 2, хотя таких точек, расстояние между которыми равно 2 в V нет. Таким образом, максимум не достигается. Аналогично, r(Q, V) = 1, хотя такой точки PÎV, что r(Q, P) = 1 не существует. Значит, минимум не достигается.

Отметим, что если множества пересекаются, то расстояние между ними равно нулю. Обратное неверно. Например, если W есть прямая x = 1, то r(V, W) = 0, но V IW=Æ.

Определение. Множество V в метрическом пространстве (M, r) называется ограниченным, если d(V)<¥.

Заметим, что и всё метрическое пространство может быть ограниченным, как например, (S², r₁).

Упражнение. Чему равны диаметры метрических пространств (S², r₁) и (S², r)?