Вектор-функция скалярного аргумента.

Определение.Пусть E³ – евклидово векторное пространство, U– некоторое множество на прямой, плоскости или в пространстве. Говорят, что на U задана вектор-функция, если каждой точке AÎU сопоставлен вектор (A) Î E³. Если I Í R – некоторый интервал числовой прямой, то : I –®E³ называется вектор-функцией скалярного аргумента.

Пусть t Î I , а (t) Î E³ – его образ при отображении : I –®E³. В E³ выберем ОНБ {i, j, k}. Тогда вектор (t) мы можем разложить по базису:

(t)= x(t)i + y(t)j + z(t)k

(в других обозначениях: (t)= r₁(t)i + r₂(t)j + r₃(t)k). Таким образом, задание одной вектор-функции равносильно заданию трех скалярных (обычных) функций x(t), y(t), z(t); x: I –®R, y : I –®R, z: I –®R.

Понятия предела, непрерывности и производной вводится аналогично таким же понятиям для обычных функций.

Определение.Пишем, что = (t) , если |(t) – | = 0 (здесь уже получается предел обычной функции). Это равносильно следующему:

"e > 0 $d: | t – t_o| < d Þ |(t) – | < e.

Говорим, что (t) непрерывна при t = t_o, если

(t) = (t_о) ;

(t) непрерывна на интервале I , если она непрерывна " t Î I .

Определение.Производная вектор-функции : I –®E³ в точке t_oÎ I определяется по формуле

¢(t_о) = .

Если предел существует для каждого t_oÎ I и t_o не фиксировать, то получим новую вектор-функцию ¢: I –®E³.

Примем без доказательства, что ¢(t) =x¢(t)i + y¢(t)j + z¢(t)k , т.е. вычислять производную вектор-функции можно покоординатно.

Вектор-функцию ¢(t) также можно дифференцировать. Получим вектор-функцию ²(t). Далее, естественным образом можем определить и производные высших порядков.

Определение.Говорим, что (t) принадлежит классу Cⁿ(I), если она определена на интервале I, у неё существуют все производные до порядка n включительно, и они непрерывны.

Определение.Вектор-функция (t) называется регулярной на интервале I , если | ¢(t) | > 0 (Û ¢(t) ¹ ) " t Î I .

Пусть (t) и (t) – две вектор-функции, определенные на одном интервале I. Тогда для них можно ввести такие же алгебраические операции, что и для обычных векторов: сложение, вычитание, умножение на число, скалярное, векторное произведения.

( ± )(t) = (t) ±(t), (l)(t) = l(t),

( · )(t) = (t) · (t), ( ´ )(t) = (t) ´ (t), " t Î I .

Для трёх вектор-функций, определенных одном том же интервале I, можно определить смешанное произведение ( )(t) = (t)(t)(t) " t Î I . Мы получим новые функции (векторные или скалярные), которые тоже можно дифференцировать. При этом выполняются те же правила дифференцирования, что и для операций над обычными функциями:

( ± )¢ = ¢ ± ¢, (l)¢ = l ¢,

( · )¢ = ¢ · + · ¢, ( ´ )¢ = ¢´ + ´ ¢.

Упражнение. Используя формулу для вычисления скалярного произведения по координатам, самостоятельно докажите, что имеет место равенство ( · )¢ = = ¢ · + · ¢.

Также для вектор-функции имеет место формула Тейлора:

(t+Dt) = (t) + Dt ¢(t) + ²(t) +…+ ( ⁽ⁿ⁾(t) + e(t, Dt)),

где e(t, Dt) – бесконечно малая вектор-функция, т.е. e(t, Dt) = .

Для вектор-функции также можно определить понятия первообразной, неопределенного и определенного интегралов.

Если отложить все векторы (t), t Î I, от одной точки O – начала координат, то их концы образуют множество точек, которое называется годографом вектор-функции (t).

В дальнейшем, стрелочку над обозначением вектор-функции ставить не будем.