Плоскость кривой.

Определение. Пусть g – некоторая кривая, P – точка на ней. Выберем близкую к ней точку QÎg. Прямую PQ назовем секущей. Если при Q –®P секущая стремится занять определенное положение l, то прямая l называется касательной к кривой g в точке P.

Математически более точным является следующее определение.

Определение. Пусть g – некоторая кривая, P – точка на ней, а l – некоторая прямая, проходящая через P. Выберем близкую к P точку QÎg. Обозначим d =½ PQ½ , d – расстояние от Q до l. Если = 0, то прямая l называется касательной к кривой g в точке P.

Теорема 1. Гладкая класса C¹(т.е. регулярная) кривая имеет в каждой своей точке касательную и, притом, единственную.

Доказательство. Пусть c(t) – гладкая регулярная параметризация кривой g, P = c(t_o), Q = c(t) – близкая к P точка. Тогда

= c(t) – c(t_o) , d =½ ½ =½ c(t) – c(t_o)½ .

Пусть l – некоторая прямая, проходящая через P, t – единичный направляющий вектор этой прямой, а a – угол между tи . Тогда

d = d×sin a =½ ½ ×½ t½ ×sin a =½ ´t½ ,

(мы домножили на ½ t½ , т.к. ½ t½ =1). Отсюда

= = = .

Перейдем в этом равенстве к пределу при d –®0 Û t –®t_o :

= .

Значит, равенство нулю этого предела равносильно c¢(t_o)´t = Û Û c¢(t_o) ½½ t. Таким образом, прямая l будет касательной Û вектор c¢(t_o) будет её направляющим вектором. Поскольку путь c(t) регулярный, то c¢(t_o) ¹ , а значит, касательная прямая существует и однозначно определяется данным вектором и точкой P = c(t_o).

Пусть кривая g задана уравнением = c(t).Из теоремы вытекает, что касательная к g, проходящая через точку P(x_o, y_o, z_o) = c(t_o), задается уравнением

= = . (1 )

Если кривая расположена на плоскости, то в этом уравнении будет отсутствовать второе равенство (координата z).

Кривая на плоскости может быть задана уравнением в неявном виде:

F(x, y) = 0. (2)

Пусть = c(t) – параметрическое уравнение этой же кривой; в развёрнутом виде:

x = x(t),

y = y(t).

Тогда при подстановке этих уравнений в (2) мы получаем тождество:

F(x(t), y(t)) º 0.

Продифференцируем его по t :

x¢(t) + y¢(t) = 0. (*)

Обозначим grad F = . Тогда равенство (*) равносильно

(grad F) · c¢(t)º 0.

Это означает, что в каждой точке P=c(t_o) на кривой g вектор градиента grad_PF, вычисленный в этой точке перпендикулярен вектору c¢(t_o), т.е. является вектором нормали для касательной к кривой в этой точке P. Значит уравнение касательной в точке P имеет вид:

(x – x_o) + (y – y_o) = 0, (3)

где все производные вычисляются в точке P(x_o, y_o).

Если кривая задана уравнением в явном виде y = f (x), то мы можем переписать уравнение так: y – f (x) = 0, и, применяя уравнение (2), получим уравнение касательной

y – y_o = f ¢(x_o)(x – x_o). (4)

Определение. Любая прямая, проходящая через точку PÎg, перпендикулярно касательной к кривой g в этой точке называется нормалью кривой. Если регулярная кривая расположена на плоскости, то нормаль у нее в каждой точке одна, а если кривая находится в пространстве – то бесконечно много. Тогда все нормали лежат в одной плоскости перпендикулярной касательной. Эта плоскость называется нормальной плоскостью к кривой g в точке P.

Пусть = c(t) – параметрическое уравнение кривой, P(x_o, y_o, z_o) = = c(t_o). Тогда вектор c¢(t_o) будет перпендикулярен нормальной плоскости, а значит уравнение этой плоскости имеет вид:

c₁¢ (t_o) (x – x_o) + c₂¢ (t_o)(y – y_o) +c₃¢ (t_o)(z – z_o) = 0. (5)

Если кривая расположена на плоскости, то уравнение нормали к ней в точке P:

c₁¢ (t_o) (x – x_o) + c₂¢ (t_o)(y – y_o) = 0.

Если кривая задана уравнением в неявном виде (2), то вектор grad_PF будет направляющим вектором нормали к ней в точке P, а значит уравнение нормали:

= . (6)