Открытые множества. Понятие топологического пространства.

Обозначим U(P,e)={QÎM| r(P,Q)<e} – открытый шар в метрическом пространстве (M, r). В частности, на плоскости это будет открытый круг, а на прямой – интервал.

Определение. Пусть V – некоторое множество в метрическом пространстве (M, r). Точка PÎV называется внутренней точкой этого множества, если она входит в V вместе с некоторым содержащим её

открытым шаром, т.е. если существует такое e>0, что U(P,e)ÌV.

Определение. Множество VÌ(M, r) называется открытым, если все его точки являются внутренними для этого множества. Пустое множество считается открытым.

Определение. Множество V в евклидовом пространстве называется связным, если для любых точек P, QÎV существует непрерывная кривая gÌV, соединяющая P и Q.

Это привычное определение связного множества обладает существенным недостатком: мы ещё не знаем, что такое «непрерывная кривая», и даже не знаем, что такое кривая. Тем более это определение не годится для произвольного метрического пространства. Математически более точное определение требует пояснений.

Определение. Множество V в метрическом пространстве (M, r) называется несвязным, если его можно представить в виде объединения V=V₁UV₂ двух непересекающихся множеств, каждое из которых открыто в V (в индуцированной топологии).

Представим себе, что множество состоит из двух непересекающихся частей V₁ и V₂, которые не являются открытыми во всём метрическом пространстве, а P – точка, лежащая на границе V₁. Рассмотрим метрическое пространство (V, r) c индуцированной из M метрикой. Тогда шар U(P,e) в (V, r) выглядит так, как это

показано на рисунке. Согласно определению, точка P оказывается внутренней точкой множества V₁. Аналогично, это верно и для произвольной точки множества V₁. Таким образом, V₁ оказывается открытым в V. Такая ситуация оказывается невозможной, если V связно в интуитивном понимании этого слова.

Определение. Множество V в метрическом пространстве (M, r) называется связным, если оно не является несвязным. Открытое связное множество называется областью. Любая область, содержащая точку P, называется окрестностью этой точки.

Теорема 1. I.Объединение любого числа открытых множеств есть открытое множество.

II.Пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество.

Оставим эту теорему без доказательства.

Следующий пример показывает, что пересечение бесконечного числа открытых множеств может не быть открытым.

Пример. Пусть

V₁= (–2; 2), V₂ = (–1,5; 1,5), V₃ = (– ; ),…, V_i = (–1 – ; 1 + ), … Тогда V_i = [–1, 1].

Определение. Говорят, что система всех открытых подмножеств метрического пространства (M, r) образует топологию этого пространства. Эта система обозначается буквой t.

Мы выяснили, совокупность подмножеств t обладает следующими свойствами:

I.V₁, V₂, V₃,…Ît Þ V_iÎt( J – множество индексов);

II. V₁, V₂, V₃,…, V_nÎt Þ V_iÎt;

III.ÆÎt, MÎt.

Определение. Пусть M – произвольное множество, на котором задана система подмножеств t, удовлетворяющая аксиомам I, II, III. Тогда пара (M, t) называется топологическим пространством, а t– топологией. Множества, входящие в tбудем называть открытыми.

Мы видим, что любое метрическое пространство является топологическим. Та топология, которая определяется на нём метрикой r, называется метрической топологией.

Пусть (M, t) – топологическое пространство, а F – подмножество в M. Тогда мы можем задать на F топологию, т.е. превратить F в топологическое пространство следующим образом. Множество VÌF назовём открытым, если существует множество W, открытое во всем M, такое, что V=WIF. Такая топология на F называется индуцированной из (M, t).

Для нас наиболее важен случай, когда F – это поверхность в трёхмерном пространстве. Получается, мы можем определить, что такое открытое множество на поверхности.