Главная нормаль. Бинормаль.

Определение. Пусть g – некоторая кривая, P – точка на ней, Q Î g – близкая к P точка. Пусть p – плоскость, проходящая через P. Обозначим d =½ PQ½, d – расстояние от Q до этой плоскости. Если

= 0, то плоскость p называется соприкасающейся плоскостью к кривой g в точке P.

Смысл этого определения в следующем: соприкасающаяся плоскость – это та плоскость, которая плотнее всего прилегает к кривой. Следующее определение эквивалентно данному.

Определение. Пусть g – некоторая кривая, P – точка на ней. Выберем две близкие к P точки Q и R на кривой. Если при Q–®P и R–®P плоскость

PQR стремится занять определенное положение , то плоскость  называется соприкасающейся плоскостью к кривой  в точке P.

Теорема 2. Если кривая g дважды дифференцируема и регулярна в точке P, то она имеет в этой точке соприкасающуюся плоскость. Если c(t) – параметризация класса C² кривой g и P = c(t_o), то соприкасающаяся плоскость будет параллельна векторам c¢(t_o) и c²(t_o). Если эти векторы не коллинеарны, то соприкасающаяся плоскость единственна, а еслиc¢(t_o)½½c²(t_o), то любая плоскость, проходящая через касательную к кривой g в точке P, будет соприкасающейся плоскостью к кривой (без доказательства).

Можно определить соприкасающуюся плоскость, как параллельную векторам c¢(t_o) иc²(t_o), а потом доказать, что именно она наиболее плотно прилегает к кривой.

Если c¢(t_o) c²(t_o), то соприкасающаяся плоскость в точке P = c(t_o) задается уравнением

x – x_o y – y_o z – z_o

c₁¢ c₂¢ c₃¢ = 0 . (7)

c₁² c₂² c₃²

Определение. Прямая перпендикулярная к соприкасающейся плоскости к кривой g в точке P называется бинормалью к кривой g в точке P. Нормаль к кривой g в точке P, лежащая в соприкасающейся плоскости называется главной нормалью.

Поскольку c¢(t_o) и c²(t_o) параллельны соприкасающейся плоскости, то вектор c¢(t_o)´c²(t_o) будет вектором нормали к ней, а значит, он будет направляющим вектором бинормали. Значит, бинормаль задается уравнением

= = .

c₂² c₃² c₃² c₁² c₂² c₃²

Главная нормаль перпендикулярна касательной и бинормали. Поэтому её направляющий вектор перпендикулярен c¢ и c¢´c². Значит, направляющий вектор главной нормали – это (c¢´ c²)´ c¢. Для того, чтобы

составить уравнение главной нормали надо сначала вычислить этот вектор в данной точке.

Определение. Плоскость перпендикулярная главной нормали к кривой g в точке P называется спрямляющей плоскостью к кривой g в точке P.

Для спрямляющей плоскости вектор (c¢´c²)´c¢ будет вектором нормали. Для того, чтобы составить уравнение спрямляющей плоскости надо сначала вычислить вектор (c¢´c²)´c¢ в данной точке.

Единичные направляющие векторы касательной, главной нормали и бинормали принято обозначать соответственно t, n, b. Тогда, для того, чтобы они образовывали правую тройку необходимо, чтобы выполнялось n = t ´ b– именно в этом порядке. Тогда

t = , b = , n = . (8)

Говорят, что вместе с точкой P = c(t_o) эти векторы, вычисленные в данной точке, образуют подвижной репер кривой {P,t, n, b} или репер Френе. Именно в этом репере удобнее всего исследовать поведение кривой в окрестности точки P.

Изобразим теперь кривую вместе с репером Френе и всеми прямыми и плоско­стями, относящимися к кривой.

§5. Длина кривой. Определение. Пусть =c(t) – параметрическое уравнение кривой g, А = c(а), B= c(b) – две точки на кривой (a<b). Разобьём промежуток [a, b] :

a = t_o<t₁ <t₂ < … < t_n–1<t_n = b.

Тогда ломаная с вершинами

c(а), c(t₁), c(t₂ ),…, c(t_n–1), c(b)

называется вписанной в кривую.

Будем неограниченно измельчать это разбиение так, чтобы длина максимального звена ломаной стремилась к нулю:

d = |c(t_i+1) – c(t_i)| –®0 .

Определение. Если при этом длина ломаной

l =| c(t_i+1) – c(t_i) |

стремится к определённому пределу L, то L называется длиной участка пути c(t) от a до b.

Подчеркнём, что данная величина может не совпадать с длиной кривой от А до B, поскольку путь по кривой может осуществляться с “возвратами” (например, вписанная ломаная может выглядеть,

как на втором рисунке). Но если c(t) – это гладкая и регулярная параметризация, то величина L будет длиной дуги кривой g от А до B, потому что в точках, где движение по кривой меняет направление, обязательно выполняется c¢= , что невозможно для регулярной параметризации.

Теорема 3. Пусть c(t) – гладкая параметризация кривой g. Длина дуги кривой g от точки А = c(а)до точки B = c(b) вычисляется по формуле

L(А, B)= |c¢(t)| dt. (9)

При этом эта величина не зависит от выбора конкретной параметризации кривой g, т.е. при допустимой замене параметра, эта величина не изменяется.

Доказательство. Длина ломаной, вписанной в кривую, равна сумме длин её звеньев:

l = | c(t_i+1) – c(t_i)|.

Добавим и отнимем справа два выражения:

| c¢(t_i)| ( t _{i+ 1} – t _i ) , |c¢(t)| dt,

а затем сгруппируем:

l = |c¢(t)| dt + { | c¢( t _i ) | ( t_{i + 1} – t _i ) – |c¢(t)| dt} +

+ { | c(t_i+1) – c(t_i) | -- | c¢(t_i)| ( t _{i + 1} – t_i) },

Первая фигурная скобка стремится к нулю при измельчении разбиения по определению интеграла. Вторую перепишем так:

( t _{i + 1} – t_i) { – |c¢(t_i)| }

Выражение в фигурных скобках стремится нулю по определению производной, а

(t_i+1 – t_i ) = b – a,

поэтому и всё выражение стремится к нулю. Получается, что при измельчении разбиения длина вписанной ломаной стремится к

|c¢(t)| dt.

Пусть теперь t = j(u) – допустимая замена параметра, f(u) = c(j(u)), a=j(u₁), b= j(u₂). Тогда j – монотонная функция.

1 случай.Функция j – возрастающая. Тогда j¢>0 и u₁ < u₂ . В соответствии с формулами замены параметра в определенном интеграле получаем

| f ¢(u)| du = |c(j(u))¢_u| du = | c_t¢· j¢_u| du = |c¢(t)| j¢_u du = |c¢(t)| dt.

2 случай.Функция j – убывающая. Тогда j¢<0 и u₁ >u₂ . Поэтому u₁ будет верхним пределом, а u₂ – нижним. При перестановке пределов в определенном интеграле меняется знак, а j¢_u выносится из-под модуля со знаком минус; оба минуса компенсируют друг друга:

| f ¢(u)| du = |c(j(u))¢_u| du = | c_t¢· j¢_u| du = – |c¢(t)| (– j¢_u ) du =

=|c¢(t)| j¢_u du = |c¢(t)| dt.

Таким образом, формула для вычисления длины одинакова, как для параметра t, так и для параметра u на кривой g.