Пример 5. Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростью v = 2 м/с

Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростью v = 2 м/с. На какое расстояние может вкатиться обруч на горку за счет его кинетической энергии? Уклон горки 10 м на каждые 100 м пути.

Рисунок 4

Решение:

У подножия горки обруч обладает запасом кинетиче­ской энергии:

где - кинетическая энергия поступательного движения обруча, - кинетическая энергия вращательного движения.

Вкатившись на горку на максимально возможное расстояние (высота горки в этом месте h), обруч приобретет запас потенци­альной энергии W_p = mgh , кинетическая энергия в этом положении равна нулю.

Пренебрегая трением, воспользуемся законом сохранения энергии:

Учтем, что момент инерции обруча относительно оси, прохо­дящей через центр инерции: I = mR²,

где m - масса обруча;

R -радиус обруча.

Угловая скорость обруча со связана с линейной скоростью v' точек, лежащих на поверхности обруча: ω = v'/R.

Поскольку за один полный оборот точка, лежащая на поверх­ности обруча, проходит путь 2πR и центр масс смещается тоже на расстояние 2πR, то v' = v .

Таким образом:

Тогда:

Так как (рисунок 4), то:

Проверка размерности:

Ответ: s=4.1 м.