![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Примеры решения задач. Пример 8.Груз массой m= 45 кг вращается на канате l = 5,0 м в горизонтальной плоскости, совершая n= 16 об/мин ⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 10
Пример 8.Груз массой m= 45 кг вращается на канате l = 5,0 м в горизонтальной плоскости, совершая n= 16 об/мин. Какой угол с вертикалью образует канат и какова сила его натяжения?
Решение: Рисунок 11 – Пример 8
На груз действует сила тяжести Уравнение движения по второму закону Ньютона записывается в виде
так как движение по окружности происходит с постоянной скоростью (по модулю), то полное ускорение тела - нормальное ускорение, направленное к центру окружности радиуса R .
Ось Х выбрана по направлению скорости. Проектируя векторы, входящие в уравнение (2) на оси, имеем систему уравнений
Tsin a = m×4p2× n2× R ; Tcos a = mg = 0. (50)
Из рисунка 11 следует R = l× sina. Решая уравнение (50) совместно, имеем
T= m×4p× n2× l, a = arccos
Подставляя числовые значения в единицах СИ и выполнив вычисления, находим
T= 0,63 кН, cos a = 0,71 , a = 450.
Пример 9.С какой максимальной скоростью может ехать мотоциклист по горизонтальной плоскости, описывая дугу радиуса r = 90 м, если коэффициент трения колёс о почву h = 0,4 (рисунок 12).На какой угол от вертикали должен отклониться мотоциклист при скорости
Решение:
Система мотоциклист и машина рассматриваются как единое точечное твёрдое тело. При движении по кругу мотоциклист будет обязательно отклоняться от вертикального положения, и движение его в принципе, не будет поступательным, так как скорости различных точек системы отличны друг от друга. Мы рассматриваем скорость центра масс и его нормальное ускорение.
Рисунок 12 – Пример 9
На мотоциклиста действуют следующие силы: 1) сила тяжести 2) сила нормальной реакции 3) сила трения 4) сила тяги, направленная по касательной к траектории; 5) сила трения покоя, направленная к центру описываемой траектории. Так как линейная скорость мотоциклиста постоянна, то сумма проекций всех сил на направление касательной равна нулю. Ускорение центра масс направлено к центру и равно Рассмотрим уравнение движения по второму закону Ньютона:
Указанные силы приложены в разных точках, вследствие чего на мотоциклиста действует еще вращательный момент. Этот момент нулевой, если результирующая сила нормального давления и силы трения пройдут через центр масс, так как
Но в радиальном направлении мотоциклист не имеет скорости, значит:
Проектируем векторы, входящие в уравнение (51) на оси:
m 0 = N-P Совместное решение скалярных уравнений (53) приводит к выражению
m
При скорости
При
Пример 10.Гиря, положенная на верхний конец стальной пружины, сжимает ее на х0=1,0 мм. На сколько сожмет пружину эта же гиря, брошенная вертикально вниз с высоты h=0,2 м со скоростью
Решение: Рисунок 13 – Пример 10
Искомая величина X деформации пружины определяет потенциальную энергию тела, так как энергия упругого деформированного тела определяется по формуле
где k – коэффициент упругости, определяемый отношением упругой силы и величины х упругой деформации. Для решения воспользуемся законом сохранения энергии. Рассмотрим систему Земля – гиря – пружина, так как при движении и сжатии пружины трения нет, то механическая энергия этой системы сохраняется. Подсчитаем энергию системы в начальном и конечном положениях. За нулевой уровень отсчета выберем самое нижнее положение гири, соответствующее сжатой пружине. В начальном положении энергия системы W складывается из потенциальной и кинетической энергии гири:
В конечном положении у гири не будет кинетической энергии, зато сжатая пружина обладает энергией упругой деформации:
где k =
Решение (57) находят в виде
Отрицательный корень x<0 соответствует растяжению пружины, поэтому отбрасывается. х=8×10-2; M=8см.
Пример 11.На рельсах в горизонтальной плоскости стоит платформа с песком общей массой m = 5×103 кг. В платформу попадает снаряд массой m=5кг, летящий со скоростью
Решение:
Эта задача не может быть решена непосредственно с помощью законов Ньютона. Платформа приобретает скорость в результате взаимодействия со снарядом. Однако закон этого взаимодействия со временем не известен. На систему платформа-снаряд действуют силы: 1) сила тяжести; 2) сила нормальной реакции; 3) сила трения; 4) сила взаимодействия платформы и снаряда.
Рисунок 14 – Пример 11 Вследствие негоризонтального направления скорости снаряда сила нормальной реакции, действующая на платформу меняется. Поэтому закон сохранения количества движения к данной системе не применим. Если пренебречь силой трения (по сравнению с силой взаимодействия платформы и снаряда), сумма проекций внешних сил на горизонтальное направление равно 0, так как силу взаимодействия снаряд-платформа считаем внутренней для данной системы. Значит, проекция вектора полного импульса системы на горизонтальное направление остается постоянной:
k¢1x = k¢2x, (58)
где k¢1x – проекция вектора импульса системы до взаимодействия ; k¢2x – после взаимодействия. Тогда k¢1x = так как k¢2x = (m+M)×u. С учетом (58) имеем (m+M)×u = u =
Пример 12.Снаряд, летевший горизонтально со скоростью
Решение: Снаряд и два его осколка считаем замкнутой системой. Значит, полный вектор импульса системы за время взрыва не меняется (из-за кратковременности взрыва и огромных сил, возникающих при этом), то есть
Рисунок 15 – Пример 12
До взрыва вектор
По рисунку видно: Отсюда u2 = Для первого осколка имеем Н = u1t + u1 = Тогда u2 = 202 м/с.
Вектор
Пример 13.При упругом ударе нейтрона о ядро углерода он движется после удара в направлении, перпендикулярном начальному. Считая, что масса
Решение:
Рисунок 16 – Пример 13
Если скорость нейтрона до удара В результате упругого удара импульс и энергия, которыми до удара обладает нейтрон, распределяются между двумя частицами. При этом по законам сохранения импульса и энергии имеем
По условию задачи требуется найти
Принимаем метод проекции с учётом того, что угол между векторами Из треугольников импульсов имеем
Кроме того, Разделим почленно выражение закона сохранения энергии на m, а уравнение (2) на m2:
Исключая
Числитель и знаменатель (63) делим почленно на
откуда
Пример 14.Шарик массой m = 0,1 кг, падая с некоторой высоты, ударяется о наклонную плоскость и упруго отскакивает от нее без потери скорости. Угол наклона плоскости к горизонту a = 30°. За время удара плоскость получает импульс силы
Решение:
Рисунок 17 – Пример 14
По закону сохранения импульса:
где отсюда
Тогда
![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
сos2a = gt, откуда t =
Из (64) найдем
тогда t =
t = 0,51 c. Пример 15.Невесомый блок укреплен в вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы a = 30° и b = 45°. Гири 1 и 2 одинаковой массы m1 = m2 = 1 кг соединены нитью и перекинуты через блок. Коэффициенты трения гирь k1 = k2 =0,1. Найти ускорение a, с которым движутся гири, и силу натяжения нити Т.
Решение:
Рисунок 18 – Пример 15
Пусть при данном значении k гири скользят. С учетом силы трения уравнение второго закона Ньютона в проекциях на направление их движения запишется в виде
или
Так как Т1 = Т2, то сложив (65) и (66), получим
откуда a = g
Из (66) найдем Т2 =
подставив в это выражение (67), получим Т2 = Т2 = Т2 = Т2 = Т2 =
Подставляя числовые данные, получим
Т1 = Т2 = 6Н, а = 0,244 м/с2.
Пример 16.Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули m1=5г, масса шара m2=0,5 кг. Скорость пули u1=500 м/с. При каком предельном расстоянии l от центра шара до точки подвеса стержня шар от удара пули поднимется до верхней точки окружности?
Решение: Рисунок 19 – Пример 16
Запишем закон сохранения импульса и закон сохранения энергии для данной системы:
m1u1= (m1+m2)×u2 (68)
где u2 – скорость шара с пулей после удара. Высота, на которую поднимается шар, h = 2l. Из (69) Из (68) u2 = тогда l =
l = 0,64 м.
Содержание С. Физические основы механики 2 Кинематика 3 Ускорение 6 Движущиеся системы отсчета 9 Примеры решения задач по кинематике 10 Движение твердого тела 13 Примеры решения задач на вращательное движение твердого тела 16 Законы динамики 23 Значение и содержание законов сохранения 28 Закон сохранения энергии 30
|