Решение. Поскольку функция представляет собой непериодическую функцию времени, найдем ее спектральную функцию (комплексный спектр) на основании интегрального

Поскольку функция представляет собой непериодическую функцию времени, найдем ее спектральную функцию (комплексный спектр) на основании интегрального преобразования Фурье (1.7). Оперируя безразмерными величинами, следует помнить, что спектральная функция характеризует спектральную плотность амплитуд и фаз элементарных комплексных гармонических колебаний . Она имеет для сигнала в виде напряжения размерность вольт × секунда. Угловая частота ω имеет размерность радиан/секунда.

Так как заданная функция является четной, то ее спектр должен быть вещественной функцией. Для представления вещественной функции достаточен один график.

Интегральное преобразование Фурье

Интегрирование дает действительную функцию

Полученное выражение запишем в компактной форме, введя определение функции отсчетов

Тогда, умножая числитель и знаменатель спектральной функции на τ/2, ее можно записать в виде

Эта спектральная функция при ω:=0 имеет неопределенность вида 0/0. Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя

График спектральной функции приведен на рисунке 4 при T:= 2∙τ, изменении угловой частоты ω с шагом в долях частоты первой гармоники ω₁:= 2∙π/Т и числе гармоник R:= 12 (в случае периодического продолжения), а именно при ω:= -R∙ ω₁, -R∙ ω₁ + ω₁/100 .. R∙ ω₁.

Рисунок 4 – График спектральной функции

Амплитудный спектр определяется как модуль спектральной функции

Переход от действительной и знакопеременной спектральной функции F_x(ω) к амплитудному спектру A_x(ω) требует введения фазового спектра. При взятии модуля спектральная функция изменяет фазу на 180⁰ = π (при M:= 4 и k:= 1 .. M ) в точках ω_k:= (2k)∙π/ τ, когда значения Sa(ωτ/2)<0.

Таким образом, фазовый спектр

Графики амплитудного и фазового спектров приведены на рисунках 5 и 6.

Рисунок 5 – Амплитудный спектр

Рисунок 6 – Фазовый спектр

Отсюда следует спектральная функция в экспоненциальной форме.

Рисунок 7 – Спектральная функция в экспоненциальной форме