ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ

Значение f(x₀) называется локальным максимумом (локальным минимумом) функции у = f(x), если в некоторой окрестности точки x₀ для любого x выполняется условие f(x₀) > f(x) (f(x₀)<f(x)). Точка x₀ называется точкой максимума (минимума) функции. Локальные максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции, а точки максимума или минимума – точками экстремуме

Теорема(необходимое условие локального экстремума). Если функция у = f(x) имеет в точке х₀ локальный экстремум, то производная f'(x) в этой точке обращается в нуль или не существует.

Точки, в которых f'(x) = 0 или f'(x) не существует, называются критическими. Экстремум в таких точках может быть, а может и не быть.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть х₀ – критическая точка функции у = f(x); если при переходе через точку х₀ слева направо производная f'(x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функция f(x) в точке х₀ имеет локальный мак (локальный минимум); если же производная f'(x) не меняет знак в окрестности точки х₀, то данная функция не имеет в точке х₀ локального экстремума.

Выпуклость и вогнутость графика, точки перегиба

График функции y=f(x) называется выпуклым в промежутке (a, b), если все точки графика лежат ниже любой ее касательной на этом промежутке.

График функции называется вогнутым, если его точки лежат выше касательной.

Достаточный признак выпуклости и вогнутости графика функции. Если во всех точках промежутка (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, т.е. f¢¢(x)<0, то график y=f(x) на этом интервале выпуклый; если f¢¢(x)>0, то график функции на этом интервале вогнутый.

Точки, в которых график функции переходит с одной стороны своей касательной в этой точке на другую ее сторону (т.е. пересекает свою касательную), называются точками перегиба. Точка перегиба отделяет выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой.

Необходимый признак точки перегиба: в точке перегиба вторая производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Достаточный признак того, что данная точка кривой является точкой перегиба. Пусть кривая определяется уравнением y=f(х). Если f¢¢(х₀)=0 или f¢¢(х₀) не существует и при переходе через значение х=х₀ производная f¢¢(х) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х=х₀ есть точка перегиба.

Общий план исследования функции

Наиболее наглядное представление о ходе изменения функции дает ее график. Поэтому построение графика должно быть заключительным этапом исследования функции, в котором должны быть использованы все результаты ее исследования. Исследование функции рекомендуется вести в определенной последовательности:

1) найти область определения функции;

2) определить симметрию графика функции (четность, нечетность функции), определить точки пересечения графика функции с осями координат;

3) определить точки разрыва и их характер, вертикальные асимптоты графика;

4) проверить наличие горизонтальной или наклонной асимптоты;

5) найти точки максимума и минимума, максимальные и минимальные значения функции, интервалы возрастания и убывания функции;

6) определить интервалы выпуклости и вогнутости графика, точки перегиба.

7) Схематично построить график функции, найти область значений функции.