Го порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение вида

,

где - известная функция, называющаяся линейными дифференциальным уравнением n-2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Если то уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Если f(x) – непрерывная функция, то общее решение уравнения состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Решение однородного уравнения

можно найти, используя алгебраические методы. Для этого заменяем производные на степенные функции, показатель степени которых соответствует порядку производной. Получаем характеристическое уравнение вида

.

Общее решение однородного уравнения определяется в зависимости от вида корней характеристического уравнения.

Правило 1. (корни характеристического уравнения простые и действительные).Если корни характеристического уравнения различные действительные числа , то общее решение уравнения имеет вид: , где - произвольные постоянные.

Правило 2. (корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные).Если корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные числа то общее решение уравнения имеет вид: , где - произвольные постоянные.

Правило 3. (корни характеристического уравнения действительные, кратные).Если корни характеристического уравнения равные действительные числа , то общее решение уравнения имеет вид: ,где - произвольные постоянные.

Частное решение неоднородного уравнения может быть подобрано по виду правой части. Если правая часть – постоянная величина, то частное решение дифференциального уравнения имеет вид:

- , если нуль является корнем характеристического уравнения;

- , если нуль не является корнем характеристического уравнения.

Здесь А произвольная постоянная, для определения значения которой частное решение подставляется в исходное дифференциальное уравнение.