Операции над множествами

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Основные понятия

Под множеством обычно понимают совокупность объектов, обладающих определенным набором свойств. Объекты, составляющие множество называются его элементами.

Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, элементы множеств - прописными буквами латинского алфавита.

Если говорят: «элемент а принадлежит множеству В», то записывают ; если говорят, что «элемент а не принадлежит множеству А», то пишут .

Выделяют два способа задания множеств:

1. Перечислением всех его элементов: А= {a,b,c}

2. Указанием характеристического свойства его элементов: А= {x | x>2}.

Для числовых множеств в математике приняты специальные обозначения:

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Z₀ – множество целых неотрицательных чисел;

Q – множество рациональных чисел;

I – множество иррациональных чисел;

R – множество действительных чисел.

Определение. Множества называются равными, если они содержат одни и те же элементы. Пишут: А=В.

Определение. Множество В называется подмножеством множества А если все элементы множества В принадлежат множеству А. Пишут: .

Определение. Если и , то .

Различают два вида подмножеств множества А:

1. Несобственные подмножества. К ним относятся само множество А и пустое множество (обозначается Æ).

2. Собственные подмножества. К ним относятся все остальные подмножества множества А.

Обычно в ходе какого-либо рассуждения можно выделить такое множество, что все рассматриваемые множества (предметы) являются его элементами, то такое широкое множество называют универсальным.

Для графической иллюстрации решения задач на множествах часто используются диаграммы Эйлера – Венна (или как их еще называют «круги Эйлера»). Элементы универсального множества I изображаются внутри прямоугольника. Элементы подмножества изображаются внутри в виде окружности или эллипса.

Например,

, I – универсальное множество.

Операции над множествами

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А так и множеству В.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В.

Определение. Разностью двух множеств А и В называется множество состоящее из тех и только тех элементов которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Определение. Если множество В – подмножество А, то разность А\В называется дополнением множества В до множества А. Пишут: .

– дополнение множества до универсального.