Задание 8

Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

а)	;		б)	;
в)	;

Решение: а) Предел частного равен частному пределов, если эти пределы существуют, конечны и знаменатель не равен нулю. В этом же примере в числителе и в знаменателе, при подстановке вместо x – бесконечности, получаем бесконечности. В таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида (бесконечность делить на бесконечность). Для раскрытия этой неопределенности целесообразно выделить элементы, порождающие эти бесконечности. Для этого и в числителе, и в знаменателе вынесем за скобку степень x с наибольшим показателем. В результате выражения в скобках будут стремиться к конечным пределам, а степени x за скобками сократятся. Решим данный пример:

.

б) В данном случае также не можем применить теорему о пределе частного, так как знаменатель стремиться к нулю. В числителе и в знаменателе при подстановке x=1 получаем нули. В таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида (ноль делить на ноль). Для раскрытия этой неопределенности целесообразно выделить элементы, порождающие нули (возможно, это будут множители вида (x–1)). Для этого и числитель, и знаменатель разложим на множители:

, .

Подставляя соответствующие выражения и сокращая общий множитель (x–1), стремящийся к нулю, но не равный ему, получим

.

в) В числителе и в знаменателе при подстановке x=0 получаем нули. Имеем неопределенность вида . Так как в примере присутствуют тригонометрические функции, то для раскрытия неопределенности можно применить первый замечательный предел: . Преобразуем выражение под знаком предела, используя тригонометрические формулы:

, так как и .