Построение всех тупиковых ДНФ.

Пусть f(x₁, …, x_n) есть функция алгебры логики.

1. Построим СДНФ функции f, и пусть P₁, P₂, …,P_n есть ее коституенты единицы).

2. Построим сокращенную ДНФ функции, f и пусть K₁, K₂, …, K_m – ее простые импликанты.

3. Построим матрицу покрытий простых импликант функции f ее конституентами единицы (табл. 3.4), полагая, что

+, если каждый множитель в K_i является множителем в P_j; (P_j есть a_ij= часть для K_i );

Æ в противном случае.

Таблица 3.4

4. Для каждого столбца j ( 1 £ j £ n ) найдем множество E_j всех тех номеров I строк, для которых a_ij = 1. Пусть Составим выражение Назовем его решеточным выражением. Это выражение можно рассматривать как формулу, построенную в свободной дистрибутивной решетке с образующими 1, 2, …,m и с операциями & и Ú .

5. В выражении A раскроем скобки , приведя выражение A к равносильному выражению где перечислены все конъюнкции элементы которой взяты из скобок 1,2,…,n соответственно в выражении A.

6. В выражении B проведем все операции удаления дублирующих членов и все операции поглощения. В результате получим дизъюнкцию элементарных конъюнкций C.

Утверждение.Каждая элементарная конъюнкция i₁&i₂&…&i_r в С дает ТДНФ для f . Все ТДНФ для функции f исчерпываются элементарными конъюнкциями в выражении С.

Пример 5. Сокращенная ДНФ для функции f = (1111010010101111) имеет вид

Для функции f построим все минимальные ДНФ.

1. Строим матрицу покрытий (таблица 3.5).

Таблица 3.5

2. Строим решеточное выражение (по столбцам таблицы).

E = (2Ú3)(2Ú5)(2Ú3)2(5Ú6)(3Ú4)(3Ú4)(1Ú4)(1Ú6)(1Ú4)(1) = (2Ú3)(2Ú5)(5Ú6)(3Ú4)(1Ú4)(1Ú6)12 = (5Ú6)(3Ú4)(1)(2) = 1235Ú1245Ú1236Ú1246.

3. Строим все тупиковые ДНФ функции f:

простые импликанты 1,2,3,5;

простые импликанты 1,2,4,5;

простые импликанты 1,2,3,6;

простые импликанты 1,2,4,6.

4. Все найденные ТДНФ являются минимальными ДНФ.