Т а б л и ц а 9.2 - Расчет скользящих средних

При определении трехчленной скользящей суммируем данные за первые три дня:

,

При определении пятичленной скользящей суммируем данные за первые пять дней:

,

Обратите внимание - полученная средняя относится к середине укрупненного интервала. Нахождение скользящей средней по четному числу членов (например, четырехчленная) осложняется тем, что средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами. Чтобы ликвидировать этот сдвиг, применяется центрирование, т.е. нахождение средней из средних для отнесения полученного уровня к определенной дате. Так, при определении четырехчленной скользящей суммируем данные за четыре дня:

,

,

,

Это нецентрированные четырехчленные скользящие средние. Для получения центрированных четырехчленных скользящих средних (последняя графа таблицы) находим средние из этих средних:

,

,

Наиболее эффективным способом выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание. При этом уровни ряда динамики выражаются в виде функции времени:

(9.15)

Выбор функции производится на основе анализа характера закономерностей динамики данного явления. Рассмотрим применение метода аналитического выравнивания по прямой для выражения основной тенденции на примере:

В таблице 9.3 приведены исходные и расчетные данные о динамике производства электроэнергии в регионе (млрд. кВт-ч).

Т а б л и ц а 9.3 - Исходные и расчетные данные для определения параметров

системы уравнения

Для выравнивания ряда динамики по прямой используем уравнение:

(9.16)

где а_о, а₁ - параметры уравнения;

t - показатель времени (обозначается порядковыми номерами, начиная от низшего).

Способ наименьших квадратов дает систему двух нормальных уравнений для нахождения параметров а_о и а₁:

(9.17)

Решение системы уравнений позволяет получить выражения для параметров а_о и а₁:

(9.18)

(9.19)

Техника расчета параметров а_о и а₁ может быть упрощена. Для этой цели показателям времени t придают такие значения, чтобы их сумма была равна нулю, т.е. Тогда система уравнений примет вид:

(9.20)

Откуда

(9.21)

(9.22)

Расчет необходимых значений дан в таблице. По итоговым данным определяем параметры уравнения:

;

.

В результате получаем уравнение основной тенденции производства электроэнергии в регионе:

.

Подставляя в уравнение принятые обозначения t, вычисляем выравненные уровни ряда динамики:

2003 г. - у_t = 1038 + 60,5 × (-2) = 917;

2004 г. - у_t = 1038 + 60,5 × (-1) = 977,5 и т.д. (см. таблицу).

По окончании расчета основной тенденции целесообразно построить график, на котором следует изобразить исходные (эмпирические) данные и теоретические значения уровней ряда (у_i и у_t).

Следует иметь в виду, что если число уровней ряда четное, то условное обозначение показателя времени t принимает следующий вид:

Годы - 2002 г. 2003 г. 2004 г. 2005 г. 2006 г. 2007 г.

t - -5 -3 -1 +1 +3 +5

(Это означает, что счет времени ведется полугодиями).

Основная тенденция (тренд) показывает, как воздействуют систематические факторы на уровень ряда динамики, а колеблемость уровней около тренда служит мерой воздействия остаточных факторов. Ее можно измерить с помощью среднего квадратического отклонения:

.

Относительной мерой колеблемости является коэффициент вариации:

(9.23)

При анализе рядов динамики важное значение имеет выявление сезонных колебаний. Этим колебаниям свойственны более или менее устойчивые изменения уровней ряда по внутригодовым периодам: месяцам, кварталам. Для выявления сезонных колебаний обычно анализируются месячные и квартальные уровни ряда динамики за ряд лет (в основном не менее 3 лет). При изучении сезонных колебаний используются специальные показатели - индексы сезонности.

Для ряда внутригодовой динамики, в которой основная тенденция роста незначительна (или она совсем не наблюдается) изучение сезонности основано на методе постоянной средней. Индекс сезонности рассчитывается по формуле:

(9.24)

где - средняя для каждого месяца за ряд лет;

- общий средний месячный уровень за ряд лет.

Пример 9.1 - Расчет индексов сезонности по методу постоянной средней

Т а б л и ц а 9.4 - Внутригодовая динамика числа расторгнутых браков в регионе за 2005-2007гг.

Месяцы	Число расторгнутых браков, г.	Индекс сезонности
			в среднем за 3 года,
Январь				165,7	122,4
Февраль				147,0	108,6
Март				150,7	111,3
Апрель				136,0	100,4
Май				136,0	100,4
Июнь				125,7	92,8
Июль				126,0	93,1
Август				120,7	89,1
Сентябрь				118,0	87,2
Октябрь				128,0	94,5
Ноябрь				131,7	97,3
Декабрь				139,3	102,9
Средний уровень	138,7	135,6	131,8	135,4	100,0

Для получения значений произведем осреднение уровней одноименных периодов:

январь -

февраль -

Определим осредненные значения уровней ряда для каждого месяца годового цикла:

январь - ;

февраль -

Далее по исчисленным месячным средним уровням определяем общий средний уровень :

Определим индексы сезонности по месяцам года:

январь -

февраль -

Совокупность исчисленных для каждого месяца годового цикла индексов сезонности характеризует сезонную волну развития числа расторгнутых браков в регионе во внутригодовой динамике (полученные данные можно изобразить в виде линейной диаграммы).

Следует обратить внимание на то, что при наличии ярко выраженной тенденции к увеличению или уменьшению уровней из года в год применяется метод переменной средней. В этом случае ход вычислений следующий:

1) вычисляют для каждого месяца (квартала) выравненные уровни по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t;

2) берут отношение фактических месячных (квартальных) данных (у_i) к соответствующим им выравненным данным в процентах (у_t):

(9.25)

3) находят среднюю из этих отношений для одноименных месяцев (кварталов) в процентах:

(9.26)

где n - число одноименных месяцев.

4) из полученных 12 помесячных относительных величин вычисляют общий среднемесячный уровень ;

5) определяют индексы сезонности;

(9.27)

где n - число годовых периодов.

Пример 9.2 - Расчет индексов сезонности по методу переменной средней

Выручка от реализации товаров народного потребления на фирме "Силуэт" по кварталам за 3 года характеризуется следующими данными:

Т а б л и ц а 9.5 – Данные о реализации товаров

Сначала вычислим выравненные уровни по уравнению прямой.

Т а б л и ц а 9.6 - Расчет выравненных уровней ряда

Период	Эмпирические уровни ряда, уi	Обозначения времени, t			Теоретические (выравненные) уровни ряда, уi
Первый год
1 квартал	16,2	-11		-178,2	16,29
2 квартал	17,0	-9		-153,0	16,51
3 квартал	17,7	-7		-123,9	16,73
4 квартал	15,1	-5		-77,5	16,95
Второй год
1 квартал	15,9	-3		-47,7	17,17
2 квартал	19,3	-1		-19,3	17,39
3 квартал	17,8	+1		17,8	17,61
4 квартал	16,8	+3		50,4	17,83
Третий год
1 квартал	15,8	+5		79,0	18,05
2 квартал	22,5	+7		157,5	18,27
3 квартал	18,7	+9		168,3	18,49
4 квартал	17,2	+11		189,2	18,71
Итого				-599,5 +662,6

Вычислим параметры:

;

.

Подставим в формулу (9.16) значения а_о и а₁

и рассчитаем теоретические (выравненные) уровни ряда, проставим их в графу 6 таблицы 9.6

Для первого года:

1 квартал: ;

2 квартал:

Далее необходимо найти для каждого квартала процентные отношения эмпирических уровней ряда ( к теоретическим уровням , т.е. .

Тогда, для первого года:

1 квартал: ;

2 квартал:

Все вычисленные результаты представим в статистической таблице 9.7.

После этого нужно просуммировать полученные процентные отношения за 3 года по одноименным кварталам (графа 11 таблица 9.7).

1 квартал: 99,4 + 92,6 + 87,5 = 279,5

2 квартал: 103 + 111 + 123,2 = 337,2 и т.д.

Затем следует исчислить индексы сезонности (графа 12 таблица 9.7).

Индексы сезонности характеризуют размеры выручки от реализации товаров народного потребления в зависимости от времен года. В данном случае наибольший удельный вес выручки приходится на второй квартал.

При изучении развития явления во времени часто возникает необходимость оценить степень взаимосвязи в изменениях уровней двух рядов динамики различного содержания, но связанных между собой. Эта задача решается методами коррелирования:

а) уровней рядов динамики;

б) отклонений фактических уровней от выравненных;

в) абсолютных разностей.

Т а б л и ц а 9.7 - Динамика выручки от реализации товаров народного потребления на фирме "Силуэт"

Кварталы	Фактические (эмпирические) данные, уi	Выравненные (теоретические) данные, уt	Фактические данные в процентах к выравненным ×100	Сумма процентных отношений гр.7 + гр.8 + гр.9	Индексы сезонности
1 год	2 год	3 год	1 год	2 год	3 год	1 год	2 год	3 год
	16,2	15,9	15,8	16,29	17,17	18,05	99,4	92,6	87,5	279,5	93,2
	17,0	19,3	22,5	16,51	17,39	18,27	103,0	111,0	123,2	337,2	112,4
	17,7	17,8	18,7	16,73	17,61	18,49	105,8	101,1	101,1	308,0	102,7
	15,1	16,8	17,2	16,95	17,83	18,71	89,1	94,2	91,9	275,2	91,7
Итого	66,0	69,8	74,2	-	-	-	-	-	-	-	100,0

Первый способ правильно показывает тесноту связи между явлениями лишь в том случае, если в каждом из них отсутствует автокорреляция, т.е. зависимость между последовательными уровнями ряда динамики.

На условном примере данных об изменении энерговооруженности труда и средней выработки на комбинате за 1999-2008 г.г. рассмотрим применение коррелирования уровней для измерения связи между рядами динамики (таблица 9.8).

Т а б л и ц а 9.8 - Исходные и расчетные данные для определения коэффициента корреляции

Рассчитаем величину коэффициента корреляции по следующей формуле:

(9.28)

;

Полученное значение коэффициента корреляции говорит о наличии прямой (знак "плюс") и заметной (величина 0,88) связи между уровнями рядов энерговооруженности труда и средней выработки.

Однако прежде чем делать вывод о тесноте связи между рассматриваемыми рядами динамики, их необходимо проверить на автокорреляцию. Наличие автокорреляции устанавливается при помощи коэффициента автокорреляции для парной линейной связи:

(9.29)

Если значение последнего уровня мало отличается от первого, то для того, чтобы сдвинутый ряд не укорачивался, его можно условно дополнить, принимая, что Тогда и поскольку они рассчитываются для одного и того же ряда. При такой замене формула коэффициента автокорреляции примет вид:

(9.30)

Для расчета коэффициентов автокорреляции по рядам построим таблицу.

Т а б л и ц а 9.9 - Расчет коэффициентов автокорреляции

Годы
	4,0	4,3	17,20	16,00	8,43	9,79	82,53	71,06
	4,3	6,7	28,81	18,49	9,79	9,06	88,70	95,84
	6,7	7,4	49,58	44,89	9,06	11,01	99,75	82,08
	7,4	7,7	56,98	54,76	11,01	11,69	120,71	121,22
	7,7	8,3	63,91	59,29	11,69	12,55	146,71	136,66
	8,3	9,6	79,68	68,89	12,55	10,12	127,01	157,50
	9,6	12,1	116,16	92,16	10,12	14,58	147,55	102,41
	12,1	15,0	181,50	146,41	14,58	14,18	206,74	212,58
	15,0	16,0	240,00	225,00	14,18	20,22	286,72	201,07
	16,0	4,0	64,00	256,00	20,22	8,43	170,45	408,85
Итого	91,1	91,1	897,82	981,89	121,63	121,63	1476,87	1589,27

По итоговым данным таблицы рассчитаем необходимые величины:

1) для первого ряда (энерговооруженность труда)

2) для второго ряда (средняя выработка):

Фактические коэффициенты автокорреляции, полученные расчетным путем, сравнивают с табличным (см. приложения в учебниках по теории статистики). Если фактическая величина больше его критического значения, указанного в таблице, то делается заключение о том, что автокорреляция имеется; если же фактическая величина меньше табличного, то следует отказаться от гипотезы о наличии автокорреляции.

Приведем сопоставление полученных коэффициентов автокорреляции с их табличной величиной при численности n = 10. При уровне значимости Р = 0,05 (5 % уровень) положительное значение может только в пяти случаях из ста превысить 0,36, а при отрицательном значении -0,564. Коэффициент автокорреляции, вычисленный по показателю энерговооруженности труда , превышает табличное значение (0,36), поэтому в этом ряду динамики имеется автокорреляция. Коэффициент автокорреляции, вычисленный по показателю средней выработки больше табличного значения (-0,564), следовательно, и здесь имеется автокорреляция. В данных рядах динамики необходимо устранить автокорреляцию, а затем уже рассчитывать коэффициент корреляции.

Следует обратить внимание на способы исключения автокорреляции:

1) при корреляции отклонений фактических уровней от выравненных необходимо сделать следующее:

- произвести аналитическое выравнивание сравниваемых рядов;

- определить величину отклонения каждого фактического уровня от соответствующего ему выравненного значения ;

- произвести коррелирование полученных отклонений. В этом случае в качестве показателя тесноты связи между изучаемыми рядами рассчитывается коэффициент корреляции отклонений:

(9.31)

где

Он характеризует степень связи между отклонениями фактических уровней сравниваемых рядов от соответствующих им выравненных уровней коррелируемых рядов динамики;

2) при коррелировании разностей измеряется теснота связи между разностями последовательных величин уровней в каждом динамическом ряду. В данном случае показателем тесноты связи между изучаемыми рядами является коэффициент корреляции разностей:

(9.32)

где

Коэффициент автокорреляции может рассчитываться не только между соседними уровнями, т.е. сдвинутыми на один период, но и между сдвинутыми на любое число единиц времени (m). Это сдвиг, именуемый временным лагом, определяет и порядок коэффициента корреляции: первого порядка (при m = 1), второго порядка (при m =2) и т.д.

Тренировочные задания для самостоятельной работы