О сходимости неявных сильных одношаговых методов

В настоящем разделе на примере численного метода (8.3) покажем,как может быть обоснована сходимость неявных одношаговых силь­ных численных методов.

Предполагается, что все частные производные, которые встреча­ются в данном разделе, существуют.

Перепишем численный метод (8.3):

где ; ; ; .

С помощью формулы Ито и разложения Тейлора-Ито имеем

где

— решение стохастического дифференциального уравнения (7.18).

Используя (8.19), (8.20), приходим к равенству

Далее имеем

где ;

определяется из (8.20) при замене на ; ; .

Если предположить теперь, что выполнены условия теоремы 7.3 при r = 2, то по аналогии с доказательством теорем 7.2, 7.3, используя (8.21), нетрудно получить следующую оценку:

где ; постоянные не зависят от ; .

С помощью (8.22) и неравенства Гронуолла имеем или , где постоянные не зависят от . Это означает, что численный метод (8.18) имеет порядок сильной сходимости 1.0.

Нетрудно видеть, что сходимость более точных неявных силь­ных численных методов может быть доказана по предложенной ранее схеме. Отметим также, что, используя приведенные в данном разделе рассуждения, можно показать, что неявный метод Эйлера (8.1) имеет порядок сильной сходимости 0.5, если выполнены условия теоремы 7.1.

8.5 Сбалансированные неявные сильные числен­ные методы

В начале данной главы (см. также [86. С. 336-337]) уже отмеча­лось, что введение неявности при построении численных методов нетолько в систематические, но и в стохастические члены правой ча­сти численной схемы приводит к тому, что для конструируемых чи­сленных методов, вообще говоря, перестают существовать моментные характеристики.

Приведенные ранее неявные сильные численные методы, в которых неявность входит только в систематические члены, ’’хорошо” ведут себя по отношению к жестким системам только с несущественной стохастической динамикой (малая интенсивность шума, аддитивный шум) [93]. В тех случаях, когда стохастическая динамика существенна (мультипликативный шум с большой интенсивностью), явные сильные численные методы, а также неявные сильные численные методы с не­явностью в систематических членах дают большую ошибку даже при достаточно малых шагах интегрирования [93]. Использование же ма­лых шагов интегрирования ведет к резкому увеличению машинного времени.

Для преодоления указанных вычислительных трудностей для жест­ких систем с существенной стохастической динамикой в [93] пред­ложено пользоваться семейством так называемых сбалансированных сильных численных методов. Несмотря на то, что неявность в этих численных методах входит в систематические и стохастические сла­гаемые в [93] проблему существования моментных характеристик для данных численных методов удалось преодолеть.

Приведем общий вид сбалансированных неявных сильных числен­ных методов [93]:

где

; ; ; ; – -измеримый при всех m-мерный стандартный винеровский процесс с независимыми компонентами ; .

В [93] доказана следующая теорема о сильной сходимости числен­ного метода (8.23), (8.24).

Теорема 8.1 [93]. Пусть выполнены следующие условия:

1. Компоненты матриц ограничены.

2. Для любой последовательности вещественных чисел такой, что и всех матрица имеет обратную, причем ; — единичная матрица.

3. Справедливы условия AI-AIII (теорема 1.6).

Тогда для всех и , где постоянная не зависит от ; — решение стохастического дифференциального уравнения Ито (7.18).

Таким образом, в условиях теоремы 8.1 сбалансированный неявный сильный численный метод (8.23), (8.24) имеет порядок сильной схо­димости 0.5. Отметим, что условие 2 теоремы 8.1 выполнено, если матрицы положительно определены [93].

В работах [93, 99] путем численных экспериментов для стохасти­ческих дифференциальных уравнений с мультипликативным шумом показано, что в ряде случаев сбалансированные неявные сильные чи­сленные методы более эффективны, чем другие численные методы, в частности, явные численные методы.

8.6 О полностью неявных сильных численных ме­тодах

Рассмотренные в предыдущем разделе численные методы содержат неявность как в систематических, так и в стохастических членах. В данном разделе рассмотрим численные методы [186], которые также обладают указанной особенностью, но основаны на другой идее.

Как уже отмечалось, проблема существования моментных харак­теристик неявных сильных численных методов с неявностью в сто­хастических членах связана главным образом с тем, что гауссовские случайные величины, входящие в указанные численные методы, явля­ются неограниченными случайными величинами. В [186] предлагается преодолеть данную проблему путем замены гауссовских случайных величин специальными ограниченными случайными величинами. По­лученные таким образом в [186] численные методы имеют невысокие порядки сильной сходимости (в общем случае 0.5, а в частных случаях 1.0), однако эти численные методы обладают хор отними свойствами устойчивости.

Рассмотрим скалярное стохастическое дифференциальное уравне­ние Ито вида

где — случайный процесс, являющийся решением данного уравнения; — стандартный скалярный винеровский процесс; — неслучайные функции; — начальное условие, которое стохастически не зависит от приращения при и удовлетворяет условию АIII теоремы 1.6.

Теорема 8.2 [186]. Пусть выполнены следующие условия:

1. Функции непре­рывны при и существует такая постоянная L, что

при всех .

2. Существует такое , что если , то выполняется неравенство:

3. Случайные величины определены следующим образом:

где — независимые стандартные гауссовские случайные величины; ; ; .

Тогда численный метод

где ; ; , имеет порядок сильной сходимости равный 0.5.

В [186], в частности, отмечается, что если условия теоремы 8.2 до­полнить условием Липшица с постоянной L по переменной х для функ­ции

то численный метод вида

будет иметь порядок сильной сходимости равный 0.5.

Кратко коснемся многомерного случая.

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение Ито вида

где — случайный процесс, являющийся решением данного уравнения; — стандартный векторный винеровский процесс с независимыми компонентами — неслучайные функции, удовлетворяющие условиям AI, All (теорема 1.6); — начальное условие, которое сто­хастически не зависит от приращения при и удовлетворяет условию АIII теоремы 1.6.

Многомерный вариант численного метода (8.25) имеет вид [186]:

где

где — независимые стандартные гауссовские случайные величины при различных р или j; — j—й столбец матрицы .

В [186] отмечается, что при соответствующих условиях гладкости и ограниченности функций численный метод (8.26) имеет порядок сильной сходимости равный 0.5. Там же рассмотрены и дру­гие полностью неявные сильные численные методы порядка точности 0.5.

17.4 MATLAB 7.0-Программы к главе 8

17.4.1 Программа для численного эксперимента 8.1 при

clear;

t0=0; tk=1;

a=1.5; b=1.5;

alpha=0.5;

for jj=3:7,

randn ('state', 0);

dt=1/(2^jj);

st=1.73;

t=t0:dt:tk;

l=max(size(t))-1;

he=0;

for i=1:20*100,

x(1)=1; y(1)=1;

sw=0;

for p=1:l,

u=randn;

sw=sw+u;

x(p+1)=x(1)*expm((a-0.5*(b^2))*p*dt+b*sqrt(dt)*sw);

y(p+1)=(1/(1-alpha*a*dt))*(1+(1-alpha)*a*dt+b*sqrt(dt)*u)*y(p);

end;

e(i)=abs(x(l+1)-y(l+1));

he=he+e(i);

end;

he=he/(20*100);

for j=1:20,

ee=0;

for k=(j-1)*100+1:j*100,

ee=ee+(k);

end;

hh(j)=ee/100;

end;

s=0;

for j=1:20,

s=s+(hh(j)-he)^2;

end;

s=s/19;

hee(jj-2)=he;

he1(jj-2)=he-st*sqrt(s/20);

he2(jj-2)=he+st*sqrt(s/20);

ttt(jj-2)=1/(2^jj);

end;

e1=[he1(1) he2(1)];

e2=[he1(2) he2(2)];

e3=[he1(3) he2(3)];

e4=[he1(4) he2(4)];

e5=[he1(5) he2(5)];

tt1=[1/(2^3) 1/(2^3)];

tt2=[1/(2^4) 1/(2^4)];

tt3=[1/(2^5) 1/(2^5)];

tt4=[1/(2^6) 1/(2^6)];

tt5=[1/(2^7) 1/(2^7)];

plot(tt1,e1,tt2,e2,tt3,e3,tt4,e4,tt5,e5,ttt,hee);

pause;

Рис. 17.1 Результат численного эксперимента 8.1 при .

17.4.2 Программа для численного эксперимента 8.2 при ,

clear;

t0=0; tk=1;

a=5; b=0.01;

st=1.73;

for jj=2:6,

randn ('state', 0);

dt=1/(2^jj);

t=t0:dt:tk;

l=max(size(t))-1;

he=0;

al1=1;al2=1;

for i=1:20*100,

x1(1)=1;

x2(1)=0;

H0=[x1(1); x2(1)];

y1(1)=1;

y2(1)=0;

a1=1/(1+al1*a*dt);

a2=1/(1+al2*a*dt);

a3=al1*al2*(a*dt)^2;

a4=(1/(1-a3*a1*a2))*a1;

sw=0;

for p=1:l,

u=randn;

sw=sw+u;

xx1=expm((-0.5*(b^2))*p*dt+b*sqrt(dt)*sw);

xx2=expm((-2*a-0.5*(b^2))*p*dt+b*sqrt(dt)*sw);

F=[xx1 0; 0 xx2];

D=[1 1; 1 -1];

H=0.5*D*F*D*H0;

x1(p+1)=H(1,1);

x2(p+1)=H(2,1);

y1(p+1)=a4*(y1(p)+((al1*a*a2)*(y2(p)+(1-al2)*a*(y1(p)-y2(p))*dt+b*y2(p)*sqrt(dt)*u)+(1-al1)*a*(y2(p)-y1(p)))*dt+b*y1(p)*sqrt(dt)*u);

y2(p+1)=a2*(y2(p)+(al2*a*y1(p+1)+(1-al2)*a*(y1(p)-y2(p)))*dt+b*y2(p)*sqrt(dt)*u);

end;

e(i)=sqrt((x1(l+1)-y1(l+1))^2+(x2(l+1)-y2(l+1))^2);

he=he+e(i);

end;

he=he/(20*100);

for j=1:20,

ee=0;

for k=(j-1)*100+1:j*100,

ee=ee+e(k);

end;

hh(j)=ee/100;

end;

s=0;

for j=1:20,

s=s+(hh(j)-he)^2;

end;

s=s/19;

hee(jj-1)=log(he);

he1(jj-1)=log(he)-st*sqrt(s/20);

he2(jj-1)=log(he)+st*sqrt(s/20);

ttt(jj-1)=log(1/(2^jj));

end;

e1=[he1(1) he2(1)];

e2=[he1(2) he2(2)];

e3=[he1(3) he2(3)];

e4=[he1(4) he2(4)];

e5=[he1(5) he2(5)];

tt1=[log(1/(2^2)) log(1/(2^2))];

tt2=[log(1/(2^3)) log(1/(2^3))];

tt3=[log(1/(2^4)) log(1/(2^4))];

tt4=[log(1/(2^5)) log(1/(2^5))];

tt5=[log(1/(2^6)) log(1/(2^6))];

plot(tt1,e1,tt2,e2,tt3,e3,tt4,e4,tt5,e5,ttt,hee);

pause;

Рис. 17.2 Результат численного эксперимента 8.2 при ,