Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Неявный метод Эйлера




Читайте также:
  1. Amp; Методичні вказівки
  2. Amp; Методичні вказівки
  3. Amp; Методичні вказівки
  4. Amp; Методичні вказівки
  5. Amp; Методичні вказівки
  6. Amp; Методичні вказівки
  7. Amp; Методичні вказівки
  8. B. Искусственная вентиляция легких. Методики проведения искусственной вентиляции легких
  9. Cтруктуры внешней памяти, методы организации индексов
  10. FDDI. Архитектура сети, метод доступа, стек протоколов.

Рассмотрим семейство неявных методов Эйлера [70, 86], являю­щихся одними из наиболее простых неявных одношаговых сильных численных методов:

Рис. 8.1. Результат численного эксперимента 8.1 при .

 

Рис. 8.2. Результат численного эксперимента 8.1 при .

 

где ; — разбиение промежутка такое, что , ; ; ; — стандартный m-мерный винеровский процесс с независимыми компонентами ; .

Очевидно, что при численный метод (8.1) транс­формируется в явный метод Эйлера, а при ; он является обобщением детерминированного метода трапеций.

Численный эксперимент 8.1 (рис. 8.1, 8.2). Для стохастиче­ского дифференциального уравнения Ито

смоделировать 2000 (M = 20 групп по N = 100 реализаций) независимых реализаций случайной величины при Т = 1. а = b = 1.5 по формуле

и с помощью неявного метода Эйлера (8.1) при и 1, взяв в (8.1) . Здесь — независимые стандартные гауссовские случайные величины. Вы­числить оценку ошибки по формуле (7.3) ( определяется из (8.1)) и 90%-й доверительный интервал для . По­вторить вычисления при и изобразить графи­чески зависимость с 90%-ми доверительными интервалами для при указанных значениях .

Численный эксперимент 8.2[86](рис.8.3-8.5). Для стохастиче­ского дифференциального уравнения Ито

смоделировать 2000 (M = 20 групп no N = 100 реализаций) независимых реализаций векторной случайной величины при по формуле


и с помощью неявного метода Эйлера (8.1) при , взяв в (8.1). Здесь — независимые стандартные гауссовские слу­чайные величины. Вычислить оценку ошибки по формуле (7.3) ( определяется из (8.1)) и 90%-й доверительный интервал для . Повторить вычисления при и изобразить графически зависимость с 90%-ми довери­тельными интервалами для при указанных значениях . Повторить вычисления при и .

Нетрудно видеть, что система, описанная в эксперименте 8.2, явля­ется жесткой. Сравнивая рис. 8.3-8.5, можно прийти к выводу [86], что явный метод Эйлера (см. рис. 8.3) проявляет себя не достаточно эффективно относительно жестких систем при уменьшении шага ин­тегрирования. В то же время неявные методы Эйлера (см. рис. 8.4, 8.5) показывают достаточно хорошее поведение. Это различие между явными и неявными сильными численными методами проявляется и при использовании более точных численных методов [86]. Численный эксперимент 8.2 проведен независимо от [86]. При этом мы получили численные результаты, которые очень близки к результатам из [86].



Далее в этой главе рассмотрим более точные неявные одношаговые численные методы. Обоснование их сходимости будет дано в конце данной главы. Также будет показано, что при подходящих условиях численный метод (8.1) имеет порядок сильной сходимости 0.5.

Рис. 8.3. Результат численного эксперимента 8.2 при .

 


Дата добавления: 2015-04-04; просмотров: 10; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.008 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты