Неявный метод Эйлера

Рассмотрим семейство неявных методов Эйлера [70, 86], являю­щихся одними из наиболее простых неявных одношаговых сильных численных методов:

Рис. 8.1. Результат численного эксперимента 8.1 при .

Рис. 8.2. Результат численного эксперимента 8.1 при .

где ; — разбиение промежутка такое, что , ; ; ; — стандартный m-мерный винеровский процесс с независимыми компонентами ; .

Очевидно, что при численный метод (8.1) транс­формируется в явный метод Эйлера, а при ; он является обобщением детерминированного метода трапеций.

Численный эксперимент 8.1 (рис. 8.1, 8.2). Для стохастиче­ского дифференциального уравнения Ито

смоделировать 2000 (M = 20 групп по N = 100 реализаций) независимых реализаций случайной величины при Т = 1. а = b = 1.5 по формуле

и с помощью неявного метода Эйлера (8.1) при и 1, взяв в (8.1) . Здесь — независимые стандартные гауссовские случайные величины. Вы­числить оценку ошибки по формуле (7.3) ( определяется из (8.1)) и 90%-й доверительный интервал для . По­вторить вычисления при и изобразить графи­чески зависимость с 90%-ми доверительными интервалами для при указанных значениях .

Численный эксперимент 8.2[86](рис.8.3-8.5). Для стохастиче­ского дифференциального уравнения Ито

смоделировать 2000 (M = 20 групп no N = 100 реализаций) независимых реализаций векторной случайной величины при по формуле

и с помощью неявного метода Эйлера (8.1) при , взяв в (8.1). Здесь — независимые стандартные гауссовские слу­чайные величины. Вычислить оценку ошибки по формуле (7.3) ( определяется из (8.1)) и 90%-й доверительный интервал для . Повторить вычисления при и изобразить графически зависимость с 90%-ми довери­тельными интервалами для при указанных значениях . Повторить вычисления при и .

Нетрудно видеть, что система, описанная в эксперименте 8.2, явля­ется жесткой. Сравнивая рис. 8.3-8.5, можно прийти к выводу [86], что явный метод Эйлера (см. рис. 8.3) проявляет себя не достаточно эффективно относительно жестких систем при уменьшении шага ин­тегрирования. В то же время неявные методы Эйлера (см. рис. 8.4, 8.5) показывают достаточно хорошее поведение. Это различие между явными и неявными сильными численными методами проявляется и при использовании более точных численных методов [86]. Численный эксперимент 8.2 проведен независимо от [86]. При этом мы получили численные результаты, которые очень близки к результатам из [86].

Далее в этой главе рассмотрим более точные неявные одношаговые численные методы. Обоснование их сходимости будет дано в конце данной главы. Также будет показано, что при подходящих условиях численный метод (8.1) имеет порядок сильной сходимости 0.5.

Рис. 8.3. Результат численного эксперимента 8.2 при .