Неявные одношаговые сильные численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений Ито

Глава 8

В данной главе рассматриваются неявные сильные одношаговые ме­тоды численного решения стохастических дифференциальных уравне­ний Ито. Отличием неявных численных методов от явных является то, что вычисляемая на к-и шаге интегрирования неизвестная величина входит как в левую, так и в правую части неявной численной схемы. Таким образом, для определения этой величины приходится на каждом шаге интегрирования дополнительно решать алгебраическое уравне­ние. Это уравнение может быть решено одним из известных стандарт­ных численных методов, например, методом Ньютона-Рафсона. По­требность в неявных численных методах, в частности, методах реше­ния стохастических дифференциальных уравнений, объясняется тем, что эти методы, как правило, обладают большей устойчивостью [70, 86, 94, 147, 149], нежели явные численные методы. Кроме того, как показано в ряде работ (см., например, [93, 99]), неявные численные методы значительно лучше ведут себя по отношению к жестким си­стемам, чем явные.

Неявные одношаговые сильные численные методы решения стоха­стических дифференциальных уравнений Ито рассматривались в ряде работ. В [70, 142] приведены неявные методы Эйлера и неявный од­ношаговый сильный численный метод порядка точности 1.0. В [70] предложен неявный одношаговый сильный численный метод порядка точности 1.5 решения стохастического дифференциального уравнения Ито с аддитивным шумом.

Общий вариант данного численного метода, а также неявный од­ношаговый сильный численный метод порядка точности 2.0 (без не­обходимых аппроксимаций стохастических интегралов) решения век­торного стохастического дифференциального уравнения Ито с много­мерным шумом приведены в [86]. В той же работе получены неявные одношаговые сильные конечно-разностные численные методы порядка точности 1.0 и 1.5 решения векторного стохастического дифференци­ального уравнения Ито с многомерным шумом. Для случая аддитив­ного скалярного шума в [86] построен неявный одношаговый сильный конечно-разностный численный метод порядка точности 2.0. Неявный одношаговый сильный конечно-разностный численный метод порядка точности 1.5 при аддитивном шуме рассматривается также в [142].

В настоящей главе наряду с известными неявными одношаговыми сильными численными методами приводятся их модификации, осно­ванные на унифицированном разложении Тейлора-Ито. Кроме того, предлагаются новые неявные одношаговые сильные численные ме­тоды, в том числе конечно-разностные, порядка точности 2.0 и 2.5.

Следует отметить, что так же, как и в [70, 86], мы будем рассматри­вать в основном такие неявные численные методы, в которых ’’неяв­ность”, т. е. вычисляемая на к-м шаге интегрирования неизвестная ве­личина, входит только в систематические члены разложения Тейлора - Ито ( ) правой части неявной численной схемы. Это обсто­ятельство связано с тем, что если ’’неявность” входит не только в си­стематические, но и в стохастические члены разложения Тейлора-Ито правой части неявной численной схемы, то для таких численных схем, вообще говоря, перестают существовать моментные характеристики, что делает невозможным применение указанных численных методов. В частности, это показано в [86] на примере тестовых линейных сто­хастических дифференциальных уравнений с мультипликативным шу­мом. Исключение составляют сбалансированные неявные методы [93].