Понятие матрицы, типы матриц

Раздел 1. Линейная алгебра. Векторная алгебра.

Понятие матрицы, типы матриц

Матрицей размера m ? n называется прямоугольная таблица чисел, содержащих m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными буквами латинского алфавита (A,B,C…) , а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией:

, где i - номер строки, j - номер столбца.

Например, матрица

Или в сокращённой записи, A=(); i =1,2…, m; j=1,2, …, n.

Используются другие обозначения матрицы например: [ ], ? ?.

Две матрицы А и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно,т.е. = , где i= 1, 2, 3, …, m, а j = 1, 2, 3, …, n.

Рассмотрим основные типы матриц:

1. Пусть m = n, тогда матрица А - квадратная матрица, которая имеет порядок n:

Элементы образуют главную диагональ, элементы образуют побочную диагональ.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме, возможно, элементов главной диагонали, равны нулю:

Диагональная, а значит квадратная, матрица называется единичной, если все элементы главной диагонали равны 1:

Заметим, что единичная матрица является матричным аналогом единицы во множестве действительных чисел, а также подчеркнем, что единичная матрица определяется только для квадратных матриц.

Приведем примеры единичных матриц:

Квадратные матрицы

называются верхней и нижней треугольными соответственно.

2. Пусть m = 1, тогда матрица А - матрица-строка, которая имеет вид:

3. Пусть n=1, тогда матрица А - матрица-столбец, которая имеет вид:

4.Нулевой матрицей называется матрица порядка mn, все элементы которой равны 0:

Заметим, что нулевая матрица может быть квадратной, матрицей-строкой или матрицей-столбцом. Нулевая матрица есть матричный аналог нуля во множестве действительных чисел.

5. Матрица называется транспонированной к матрице и обозначается , если ее столбцы являются соответствующими по номеру строками матрицы .

Заметим, если матрица А имеет порядок mn, то транспонированная матрица имеет порядок nm.

6. Матрица А называется симметричной, если А=, и кососимметричной, если А = .

Пример. Исследовать на симметричность матрицы А и В.тогда следовательно, матрица А - симметричная, так как А =.

тогда следовательно, матрица В - кососимметричная, так как В = - .

Заметим, что симметричная и кососимметричная матрицы всегда квадратные. На главной диагонали симметричной матрицы могут стоять любые элементы, а симметрично относительно главной диагонали должны стоять одинаковые элементы, то есть На главной диагонали кососимметричной матрицы всегда стоят нули, а симметрично относительно главной диагонали