Определители матриц, их свойства.

Понятие определителя матрицы

Квадратной матрице n –го порядка ставиться в

соответствие число , называемое определителем матрицы или детерминантом.

Свойства определителей:

Замечание

Все что будет сказано относительно строк, будет относиться и к столбцам.

1° При транспонировании квадратной матрицы её определитель не меняется:

2° Общий множитель в строке можно выносить за знак определителя.

3° То есть, если квадратная матрица -го порядка умножается на некоторое ненулевое число , то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на число в степени, равной порядку матриц.

4° Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем.

5° Если две строки определителя поменять местами, то определитель поменяет знак.

6° Определитель с двумя равными строками равен нулю.

7° Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.

8° Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю.

9° Определитель не изменится, если к какой-то его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число.

10° Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

11° Определитель произведения матриц равен произведению определителей: