Аналогично, рассматривая формулу определения скорости в общем случае

как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, положение тела в пространстве можно найти после интегрирования:

.

Путь, пройденный телом за промежуток времени (Δt = t – t₀), можно вычислить как интеграл от модуля скорости:

.

Радиус-вектор, как и любой другой вектор, можно выразить через проекции и орты выбранной системы координат. Формула

;

представляет радиус-вектор в декартовой системе координат.

Система функций

является уравнением траектории в параметрической форме, где параметром является время t. Если движение происходит в одной плоскости, например xOy, то можно получить уравнение траектории в явном виде: , для чего нужно из первых двух функций системы исключить время.

Вопросы для самопроверки и задачи

1) Выведите формулы зависимости скорости и перемещения от времени, если известна зависимость ускорения от времени.

2) Выведите уравнение траектории движения тела, брошенного под углом к горизонту.

3) Запишите радиус-вектор в виде разложения по базису декартовой системы координат.

4) Выведите формулы для нахождения скорости и ускорения тела в декартовой системе координат.

2.2.1. Обратная задача механики

Задача 45. (1, 2) Найти размерность постоянных А, В и С; радиус-вектор в момент времени, равный 2,6 с, и изобразить его на рисунке; перемещение за промежуток времени от t₁ = 0,73 с до t₂ = 2,3 с; его модуль; написать уравнение траектории, если частица движется таким образом, что ее радиус-вектор меняется с течением времени по закону:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ,

где А = 1,8; В = 4,3; С = 1,7 – постоянные коэффициенты.

Задача 46. (2) Реактивный снаряд движется в плоскости yOz так, что его координаты меняются с течением времени по закону: м; м. Найти уравнение траектории и тангенциальное ускорение снаряда в момент времени, равный 86 с.

Задача 47. (2) Движение бегуна на стадионе задано формулами: ; , где α = 4,3 м; β = 2,4 м/с²; γ = 3,1 м; σ = 5,2 м/с. Найти: 1) скорость спортсмена в тот момент, когда его координата х равна 4,7 м; 2) зависимость ускорения спортсмена от времени.

Задача 48. (3) Голубь перемещается в пространстве так, что его радиус-вектор меняется с течением времени по закону: , где А = 0,53 м/с²; В = 0,32 м/с²; С = 2,8 м. Найти: 1) путь, который пролетела птица за 16 с от начала полета; 2) модуль мгновенного ускорения в момент времени, равный 0,85 с.

Задача 49. (3) Зависимость координат модели гоночного автомобиля от времени имеет вид: , где А = 5,6 м; ω = 2,1 рад/с. Определить зависимость модуля нормального и тангенциального ускорения от времени, а также путь, пройденный моделью за 73 с.

Задача 50. (3) Снаряды вылетают с начальной скоростью 550 м/с под углом 30, 45 и 60^о к горизонту. Определить радиус кривизны траектории снарядов в их наивысшей и начальной точках.

Задача 51. (3) С вышки высотой 14,7 м в горизонтальном направлении брошен камень с начальной скоростью 12 . Определить скорость, тангенциальное и нормальное ускорение камня спустя 0,83 с после начала его движения. Чему равны радиус кривизны и расстояние до земли в этой точке траектории? Сопротивлением воздуха пренебречь.

2.2.2. Прямая задача механики

Задача 52. (2, 3) Найти размерность постоянных А, В, С, D и зависимость вектора перемещения материальной точки от времени, если материальная точка движется таким образом, что вектор ее скорости меняется с течением времени по закону:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

Задача 53. (3) Частица движется с зависящим от времени ускорением: , где А = 2,4 м/с³; В = 7,1 м/с². Найти в момент времени, равный 2,7 с модуль скорости, модуль радиуса-вектора, а также путь и перемещение частицы за промежуток времени от t₁ = 1,4 с до t₂ = 3,8 с. В начальный момент времени частица покоилась в начале координат.

Задача 54. (2) Скорость стартующего на вираже автомобиля меняется с течением времени по закону: , где А = 2,4 м/с⁴; В = 1,6 м/с³. Найти: 1) модуль приращения ускорения за время от t₁ = 1,3 с до t₂ = 3,2 с; 2) приращение радиуса-вектора за это время. В начальный момент времени автомобиль находился в начале координат.

Задача 55. (2) Скорость зайца меняется с течением времени по закону: , где α = 2,4 м/с²; β = 5,3 м/с; γ = 3,7 м/с³. Вычислить скорость зайца в момент времени, равный нулю, найти зависимость ускорения и радиуса-вектора зайца от времени.

Задача 56. (3) Ускорение взлетающего вертолета меняется по закону: , где А = 3,2 м/с³; В = 4,8 м/с^5/2. Вычислить: 1) модуль вектора скорости в момент времени, равный 2,3 с; 2) приращение радиуса-вектора за промежуток времени от t₁ = 1,2 с до t₂ = 3,6 с. В начальный момент времени вертолет покоился в начале координат.

Задача 57. (2) Шарик, запрессованный в обод маховика, движется по окружности радиусом 23 см так, что зависимость пути от времени описывается уравнением: l = A + Ct³, где С = 0,52 м/с³. Найти момент времени, когда угол между тангенциальным и полным ускорением шарика будет равен 30^о.

Задача 58. (3) Гайка на ободе центрифуги движется по окружности радиусом R. Модуль скорости гайки зависит от пройденного пути по закону: , где В – постоянная. Найти угол между вектором полного ускорения и вектором скорости в зависимости от l.

3. ДИНАМИКА