Движение тел под действием постоянных сил

Порядок решения всех динамических задач принципиально прост: необходимо обозначить неизвестные величины, составить уравнения движения:

,

пользуясь вторым и третьим законами Ньютона, и учесть при этом условия, налагаемые на траекторию движения. Таким путем всегда можно получить дифференциальные уравнения для определения неизвестных величин.

Если использование таких сил как сила тяжести, сила реакции опоры, сила натяжения как правило не вызывает трудностей, то применение силы трения связано с определенными проблемами. Следует иметь в виду, что сила трения не всегда является помехой движению. Вспомните, как трудно ходить по льду, выполнить маневр на автомобиле на обледенелой дороге. Поэтому сила трения часто является “источником” движения, например, при разгоне автомобиля или при движении по закруглению дороги.

В задачах координатные оси СО необходимо выбирать так, чтобы задача решалась наиболее простым и удобным способом.

При описании движения связанных тел следует записать уравнения движения для каждого тела, а взаимодействие между телами учесть с помощью сил реакции, сил натяжения нитей и т. д. Тогда формально тела можно рассматривать как независимые. Сущность такого метода составляет содержание так называемого принципа д’Аламбера, что позволяет решать уравнения при ограничениях на движение. Как правило, сначала необходимо вывести формулу для ускорения тел, а затем следует применить формулы кинематики.

Вопросы для самопроверки и задачи

1) Сформулируйте первый, второй, третий законы Ньютона.

2) Какое движение тела называется несвободным?

3) Какие силы действуют на тело, находящееся на наклонной плоскости?

4) Как направлена сила трения скольжения?

5) Как удобнее выбрать координатные оси?

6) Какая сила описывает взаимодействие связанных тел?

7) Сформулируйте принцип суперпозиции сил.

8) Сколько векторных уравнений движения необходимо записать для описания движения связанных тел?

3.1.1. Движение вдоль вертикальной прямой

Задача 59. (1) Подвешенное к тросу ведро массой 11 кг поднимают вертикально. С каким ускорением оно движется, если сила натяжения троса 118 Н? Каким будет натяжение троса при движении этого ведра вниз с таким же ускорением?

Задача 60. (1) Подвешенное к динамометру тело массой 2,3 кг поднимают вертикально. Что покажет динамометр а) при подъеме с ускорением 2,8 м/с²; б) при равномерном подъеме?

Задача 61. (2) Камень массой 0,14 кг, брошенный вертикально вверх со скоростью 34 м/с, достиг высшей точки подъема через 2,5 с. Определить среднее значение силы сопротивления воздуха.

Задача 62. (2) В лифте на пружинных весах стоит человек массой 68 кг. Лифт движется с ускорением 2,75 м/с². Определить показание весов в двух случаях, когда ускорение лифта направлено: 1) вертикально вверх; 2) вертикально вниз.

Задача 63. (2) За какое минимальное время можно поднять груз массой 12 кг на высоту 25 м с помощью веревки, прочность которой на разрыв равна 250 Н?

Задача 64. (2) Воздушный шар объемом 660 м³ находится в равновесии. Какое количество балласта надо выбросить за борт, чтобы шар начал подниматься с ускорением 0,078 м/с²? Плотность воздуха равна 1,29 кг/м³.

Задача 65. (3) К потолку лифта, масса которого 108 кг, подвешен груз. Сила 1520 Н заставляет лифт двигаться вверх. Груз находится на расстоянии 1,65 м от пола лифта. Нить внезапно обрывается. Сколько времени пройдет от момента разрыва нити до удара груза об пол?

3.1.2. Движение по горизонтальной прямой

Задача 66. (1) На покоившийся на горизонтальной поверхности камень массой 23 кг подействовали постоянной силой, направленной под углом 30^о к горизонту. После начала движения камень за 5,4 с прошел 25 м. Найти значение действующей силы, если коэффициент трения скольжения равен 0,022.

Рис. 1

Задача 67. (2) В какую сторону и с каким ускорением начнет двигаться брусок, изображенный на рис. 1, если к нему приложить две силы: F1 = 82 Н и F2 = 150 Н? Масса тела равна 15 кг, угол α равен 32о, коэффициент трения скольжения бруска о плоскость – 0,23.

Задача 68. (2) В каком случае кирпич будет двигаться с большим ускорением: когда к нему приложена сила в 26 Н, параллельная горизонтальной поверхности, или когда эта же сила приложена под углом 45^о к горизонту? Масса кирпича равна 3,2 кг, коэффициент трения скольжения о поверхность равен 0,22.

Рис. 2

Задача 69. (2) К первоначально покоящемуся бруску приложили две силы: F1 = 15,2 Н; F2 = 9,3 Н (рис. 2). Определить путь, пройденный бруском за 5,4 с от начала действия сил, если его масса равна 2,7 кг, а коэффициент трения о плоскость равен 0,32. Угол α составляет 30о, угол β – 45о.

Задача 70. (2) В гонке на прямой заснеженной дороге участвуют три автомобиля ВАЗ моделей 2106, 2110 и 2121. В какой последовательности автомобили пройдут промежуточный финиш (120 м от старта), если мощность двигателей достаточна для пробуксовки колес при разгоне на любой передаче, а коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,18. Учесть, что на переднюю ось приходится 65 % от массы автомобиля.

Задача 71. (3) Пусть лебедь, рак и щука в известной басне Крылова действуют на воз с поклажей массой 108 кг с силой, равной 112, 62 и 31 Н соответственно. Сила, с которой лебедь действует на воз, направлена вертикально вверх, силы действия рака и щуки направлены горизонтально по продольной оси воза в противоположные стороны. Определить ускорение, с которым будет двигаться воз, если коэффициент трения равен 0,052.

3.1.3. Движение по наклонной плоскости

Задача 72. (1) Автомобиль массой 1,95 т поднимается в гору с углом наклона, равным 35^о. На участке пути длиной 32 м скорость автомобиля увеличилась от 25 до 38 км/ч. Считая движение равноускоренным, определить силу тяги двигателя. Коэффициент сопротивления движению принять равным 0,23.

Задача 73. (1) Коэффициент трения ботинок о камень равен 0,68. На склоне какой наибольшей крутизны еще можно удержаться в этих ботинках?

Задача 74. (2) Какую горизонтальную силу необходимо приложить к ящику массой 13 кг, находящемуся на наклонной плоскости длиной 5,5 м и высотой 3,4 м, чтобы ящик равномерно двигался по ней? Трением пренебречь.

Задача 75. (2) Контейнер массой 207 кг равномерно поднимают по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол 28^о, прикладывая силу 1500 Н вдоль линии движения. С каким ускорением контейнер будет соскальзывать вдоль наклонной плоскости, если его отпустить?

Задача 76. (3) Ледяная гора составляет с горизонтом угол 35^о. Из некоторой точки по ней снизу вверх движется шайба с начальной скоростью 24 м/с. Коэффициент трения скольжения равен 0,078. Определить скорость шайбы при ее возвращении в ту же точку и высоту, на которую поднималась шайба.

Задача 77. (2) Мальчик тянет сани массой 52 кг в гору с силой 212 Н. Веревка, за которую он тянет, составляет с горизонтом угол 43^о. Угол наклона горы равен 18^о. Коэффициент трения санок о поверхность горки равен 0,22. Определить ускорение, с которым движутся санки, и силу давления санок на горку.

Задача 78. (2) Автомобиль массой 6,8 т подъехал к подъему дороги с углом наклона, равным 5,4^о, имея скорость 24 м/с. Сила тяги автомобиля равна 8,3 кН, коэффициент трения равен 0,062, длина подъема составляет 96 м. Найти: 1) ускорение автомобиля; 2) скорость в конце подъема; 3) время движения.

Задача 79. (3) Небольшой камень пустили снизу вверх по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 15^о. Найти коэффициент трения, если время подъема камня оказалось в два раза меньше времени спуска.

Задача 80. (4) По деревянным сходням, образующим с горизонтом угол 36^о, втаскивают ящик за привязанную к нему веревку. Коэффициент трения ящика о сходни равен 0,28. Под каким углом к горизонту следует тянуть веревку, чтобы с наименьшим усилием втянуть ящик?

3.1.4. Движение по окружности

Задача 81. (1) Какова первая космическая скорость для Луны, Марса?

Задача 82. (2) Найти массу Солнца, зная период обращения Земли вокруг Солнца. Расстояние от Земли до Солнца равно 1,5·10¹¹ м.

Задача 83. (2) Спутник движется по круговой орбите вокруг Земли на расстоянии 280 км от ее поверхности. Определить скорость движения спутника.

Задача 84. (3) Какую скорость относительно поверхности Земли должен иметь искусственный спутник, чтобы лететь по круговой орбите, расположенной в плоскости экватора на высоте 1600 км над Землей?

Задача 85. (2) Какими должны быть радиус круговой орбиты искусственного спутника Земли и его линейная скорость, чтобы период обращения спутника был равен одним суткам?

Задача 86. (2) Ускорение Луны можно найти исходя из кинематических соображений, зная средний радиус ее орбиты и период обращения вокруг Земли. Сравнить полученное значение ускорения со значением ускорения, создаваемого на лунной орбите земным тяготением.

Задача 87. (3) Чтобы избежать вращения спутника массой 18 т вокруг собственной оси, к его поверхности прикрепляют канат, направленный в сторону Земли, длиной 150 м с гирей массой 32 кг на другом конце. Найти натяжение каната, если орбита спутника проходит на высоте 360 км над поверхностью Земли.

3.1.5. Движение связанных тел

Задача 88. (1) Через легкий неподвижный блок перекинут шнур. К одному концу шнура привязан груз массой 1,6 кг, к другому – 4,2 кг. Чему будут равны сила натяжения шнура и сила давления на ось блока во время движения грузов? Массой блока и шнура пренебречь.

Задача 89. (1) На столе лежит брусок массой 5,3 кг. К бруску привязан шнур, перекинутый через неподвижный невесомый блок. К другому концу шнура привязана гиря массой 2,4 кг. С каким ускорением будут двигаться брусок и гиря, если коэффициент трения бруска о поверхность стола равен 0,25? Какова будет сила натяжения шнура при движении?

Задача 90. (2) На столе лежит горизонтальный брусок, к которому привязаны нити, перекинутые через невесомые блоки, укрепленные на краях стола. К свободным концам нитей подвешены грузы массой 0,85 и 0,26 кг, вследствие чего брусок приходит в движение и за 2,3 с проходит путь, равный 1,4 м. Зная, что масса бруска равна 2,2 кг, определить коэффициент трения скольжения.

Задача 91. (2) Тела m₂ и m₃, связанные нитью, скользят по горизонтальному столу с ускорением 2,8 м/с² под действием тела m₁, прикрепленного к концу нити, которая привязана к телу m₂ и перекинута через неподвижный блок, укрепленный на краю стола. Определить массу тела m₃ и силы натяжения нитей, если известно, что m₂ = m₁ = 2 кг. Коэффициенты трения второго и третьего тел о плоскость одинаковы и равны 0,2.

Задача 92. (2) Два бруска массой 0,88 и 4,1 кг, соединенные шнуром, лежат на столе. С каким ускорением будут двигаться бруски, если к одному из них приложить силу F, равную 12 Н, направленную горизонтально? Какова будет сила натяжения шнура, соединяющего бруски, если силу F приложить 1) к первому бруску, 2) ко второму бруску? Коэффициент трения брусков о стол равен 0,19.

Задача 93. (2) На неподвижной наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол 32^о, лежит груз массой 5,2 кг, привязанный к шнуру. Другой конец шнура перекинут через легкий неподвижный блок, закрепленный на вершине наклонной плоскости. К свободному концу шнура подвешен груз массой 1,1 кг. С каким ускорением будут двигаться грузы, если коэффициент трения груза о плоскость равен 0,18? Какова сила натяжения нитей?

Задача 94. (2) Две боковые грани трехгранной призмы, лежащей на третьей грани, образуют с горизонтом угол α, равный 30^о и угол β, равный 45^о. Два бруска массой 1,2 кг каждый, связаны нитью, перекинутой через блок, закрепленный над верхним ребром призмы. Коэффициент трения первого бруска о стол равен 0,2, второго – 0,1. Нить невесомая, массой блока пренебречь. Найти ускорение, с которым движутся грузы.

Задача 95. (3) На горизонтальном столе лежат два бруска массой 1,3 и 2,3 кг, связанные невесомой нерастяжимой нитью. Ко второму бруску привязана такая же нить, которая перекинута через невесомый неподвижный блок, закрепленный на краю стола. К свободному концу нити привязан груз массой 4,2 кг. С каким ускорением будут двигаться грузы, если коэффициент трения грузов о поверхность стола равен 0,12? Какова сила натяжения нитей?

Задача 96. (3) На горизонтальном столе лежат два тела массой 1,6 кг каждое. Тела связаны между собой невесомой нерастяжимой нитью. Такая же нить связывает второе тело с грузом массой 0,57 кг. Эта нить перекинута через невесомый блок, укрепленный на краю стола. Коэффициент трения первого тела о стол равен 0,11, второго – 0,15. Найти: 1) ускорение, с которым движутся тела; 2) натяжение нити, связывающей тела, лежащие на столе.