Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).




Читайте также:
  1. C2 Покажите на трех примерах наличие многопартийной политической системы в современной России.
  2. II. Системы, развитие которых можно представить с помощью Универсальной Схемы Эволюции
  3. III. Когда выгодно рассматривать движение из движущейся системы отсчета (решения двух задач учителем)?
  4. III. Требования к организации системы обращения с медицинскими отходами
  5. IV. Решение уравнений.
  6. L – класс линейных функций.
  7. MES-системы (Manufacturing Execution System) - системы управления производством (у нас больше известные как АСУТП)
  8. Mир нелинейных систем
  9. Ordm;. Геометрические характеристики криволинейных координат.
  10. Ordm;. Общая схема построения кинематических уравнений Эйлера.

 

Исследовать систему и в случае совместности найти ее решения.

1) , 2) ,

3) 4) .

Исследование системы будем проводить в следующем порядке:

1) Составим расширенную матрицу системы (АIb) и с помощью элементарных преобразований получим ее приведенную форму.

2) Найдем ранги r(A), r(AIb) и по теореме Кронекера-Капелли сделаем выводы.

Если система неопределена, то переходим к пункту 3 и продолжим изучение.

3) По приведенной матрице А восстановим однородную систему уравнений и найдем ее множество решений X00.

4) По приведенной расширенной матрице (АIb) восстановим неоднородную систему уравнений и, положив параметрические неизвестные равными, например, нулю, найдем частное решение Xч.н..

5) Общее решение неоднородной системы представляет собой сумму общего однородного и частного неоднородного решений, то есть Xо.н.=Xо.о+Xч.н..

1)

1. (AIb)= ~C1-C4 ~ C2-4C1, C3-2C1, C4-C1,

~ ~C2:5, C3:3 ~ C3-C2, C4-4C2 ~ ~ C2+2C4 ~ C1+3C2, C3+C2 ~ ~C3(-7) ~ C1+16C3, C2+5C3 ~ .

2. Определитель =1 0 является для матриц А и (AIb) базисным минором, поэтому r(A)=r(AIb)=3 и по теореме Кронекера-Капелли исходная система уравнений совместна. Так как число неизвестных n=3 совпадает с рангом r(AIb), то система имеет единственное решение, то есть определена. Это решение найдем восстановив систему по приведенной матрице (AIb):

.

2) 1.

(AIb)= ~C2+C1 , C3-2C1 ~ C2+C3 , C3(-1)

~ ~C1-2C2 , C3-3C2 ~C1+C3 .

2. Матрица А имеет базисный минор , следовательно, r(A)=3. Ранг расширенной матрицы также равен 3, так как рассмотренный выше минор является базисным минором и для матрицы (АIb).

Итак, по теореме Кронекера-Капелли исходная система совместна. Поскольку число неизвестных системы п=4 больше, чем r(AIb), то система имеет бесконечно много решений, то есть является неопределенной.

3. Однородная система имеет вид:

.

Так как r(A)=3, n=4, то размерность пространства решений однородной системы L=r(A)-n=4-3=1 и существует только один базисный вектор 1. Координаты этого вектора получаются из равенств:

,

если положить в них параметрическую переменную x4 равную 1. Имеем,

и 1= , X00=C , C R.

4. Неоднородная система имеет вид:

. Полагая здесь X4=0, получим: и Xч.н.= .



5. Общее решение исходной системы имеет вид:

Xо. н.=C + , C R.

3) 1. (AIb)= ~C2-2C1 , C3-C1 ~ C2 (-1), C3+C2 ~ ~ C1-2C1 .

2. Определитель =1 0 является для матриц А и (АIb) базисным минором, поэтому r(A)=r(AIb)=2. По теореме Кронекера-Капелли система уравнений совместна, и так как число неизвестных п=4 больше ранга r(AIb), то система неопределена.

3. Однородная система имеет вид

или .

Так как r(A)=2, п=4, то пространство решений однородной системы имеет размерность L=4-2=2 и содержит два базисных вектора 1, 2. Полагая в последней системе уравнений параметрические неизвестные x3=1, x4=0, получим

, 1= , и x3=0, x4=1, получим , 2= .

Общее решение однородной системы: X001 2 , C1,C2 R.

4. Неоднородная система имеет вид

. Полагая здесь x3=x4=0, получим и частное решение Xx.н.= .

5. Общее решение исходной системы:

Xo.н.=C1 2 + , C1,C2 R.

4) 1 (AIb)= ~ C1+C2 , C3-C2 ~ C2+C1 ~ ~

~ C3-C2 .

2. Матрица А~ ~ имеет базисный минор второго порядка, следовательно, r(A)=2. Ранг расширенной матрицы (AIb)= равен трем, поскольку ее минор =6 0.



Итак, r(A) r(AIb), стало быть, по теореме Кронекера-Капелли исследуемая система уравнений не имеет решений, то есть несовместна.


Дата добавления: 2015-04-15; просмотров: 7; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.008 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты