Пример 5. Пространство многочленов Pn степени ≤n.

Определение 4.Функция видаP(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+ a_n, где а₀ ,а₁,…, а_nЄR и а₀ ≠ 0 называется многочленом степени n; числа а_n называются коэффициентами.

Определение 5.Два многочлена называются равными, если у них коэффициенты при одинаковых степенях совпадают.

Определение 6.Суммой p(х) = а₀хⁿ +…+ а_n, q(х) = в₀хⁿ + …+в_n называется многочлен

p(х) + q(х) = (а₀ + в₀) хⁿ +…+(а_n + в_n).

Определение 7. Произведением многочлена на число λ называется многочлен λ P(х) = λ а₀хⁿ +…+λ а_n

Замечание 3.Множество P_n многочленов степени ≤n является линейным (векторным) пространством

Замечание 4.Функции 1, х, х²,….хⁿ образуют базис в P_n dim P_n = n + 1.

Линейные отображения (Евклидовы пространства)

Определение 1.Отображением множества элементов А в множество элементов В называется правило, сопоставляющее каждому элементу из А один элемент из В.

Обозначение: f: A®B; "xÎA y:=f(x)ÎB.

Пример1. f:=M_nn®R. f((a_ij)):= - определитель матрицы.

Пример 2. =af’+bg’- линейное отображение.

Определитель матрицы определяет нелинейное отображение.

Пример 3.х = y = , f(x+y)=f( )= 16-24=8, f(x)+f(y)= =

=(4-6)+(4-6)= - 4.

Определение 2.Отображение f = f(х₁,…х_n) : Еⁿ → F называется полилинейным (n – линейным ), если оно является линейным отображением из Е в F по каждой переменной х_к при фиксированных остальных : "a,bÎR, "x’_k,…, x”_kÎE, f(x₁,…,x_k-1, ax’_k+bx”_k, x_k+1,…,x_n)=af(x_1,…,x_k-1, x’_k, x_k+1,…,x_n)+bf(x₁,…, x_k-1, x”_k, x_k+1,…,x_n).

Определение 3. n – линейное отображение f: Eⁿ → R называется n- линейной формой.

Определение 4. 2-линейное отображение (форма) называется билинейным отображением (билинейной формой).

Определение 5. Билинейная форма r(x,y):E²®R называется скалярным произведением на векторном пространстве Е, если оно обладает свойствами:

1) "x, yÎE выполняется (x,y)=(y,x),

2) если для "y (x,y)=0, то x=0,

3) для "x¹0 выполняется (x,x)>0.

Пример 4. r=( ): ®R, ( ):=IxI IyI cos .

Пример 5. r=(x,y): (Rⁿ)²®R, x={x₁,…,x_n}, y={y₁,…,y_n}, тогда (x,y):=x₁y₁+…+x_ny_n.

1) очевидно,

2) "y (x,y)=x₁y₁+…+x_ny_n=0. В частности, для y=e_k={0,…,0,1,0,…0}, k=1,2…,n, следовательно, (x,e_k)=x_k=0, k=0,1,2,…,n, следовательно, x={0,0,…,0},

3) (x,x)=x₁²+…+x_n²>0 Û$ k: x_k¹0.

Определение 6.Отображение f = : E®R называется нормой в пространстве Е , если оно обладает свойствами:

1) " xÎE 0 и Û x=0,

2) "lÎR ,

3) "x,yÎE .