Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Смешанное произведение векторов. Определение. Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное скалярному произведению вектора

Читайте также:
  1. III. Компаудный ДПТ (Смешанное возбуждение)
  2. Арнольд Джозеф Тойнби (1889—1975) — английский историк и обществовед. Главное произведение "Постижение истории".
  3. Беньямин В. Произведение искусства в эпоху его технической воспроизводимости[79].
  4. БИЛЕТ 10. Граничные условия для векторов Е и D . Преломление силовых линий на границе диэлектриков.
  5. Векторное произведение векторов
  6. Векторное произведение векторов
  7. Векторное произведение двух
  8. Векторное произведение двух векторов
  9. Векторное произведение двух векторов и его приложения
  10. ВОПРОС 2.ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ И СМЕШАННОЕ СОЕДИНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ЭЛ.ЦЕПЕЙ. ПОЛНОЕ КОМПЛЕКСНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ЦЕПИ. ТРЕУГОЛЬНИК СОПРОТИВЛЕНИЙ.

 

Определение. Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и , т.е. .

Геометрический смысл смешанного произведения выражает следующая теорема.

Теорема. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах , , , взятому со знаком «плюс», если тройка векторов , , правая, и со знаком «минус», если тройка векторов , , левая. Если же векторы , , компланарны, то .

В краткой записи:

 
 

Доказательство видно из рисунка.

Свойства смешанного произведения

1. .

2. Величина векторного произведения не изменяется при циклической перестановке сомножителей:

3. векторы компланарны.

4. Смешанное произведение линейно по каждому из сомножителей. В частности,

.

 

Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей

Теорема. Если векторы заданы своими координатами: , , , то смешанное произведение равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов, т.е.

. (1.6)

Пример 12.Компланарны ли векторы

Решение. Вычислим смешанное произведение векторов по формуле (1.6) , следовательно, векторы - компланарны.

Пример 13.Образуют ли векторы базис в пространстве

Проверим, компланарны ли векторы . Для этого вычислим их смешанное произведение

следовательно, векторы некомпланарны, а значит, образуют базис в пространстве

Пример 14.Векторы образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны и Вычислить

Решение.

Пример 15.Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

Решение.

Пример 16.Найти объем тетраэдра с вершинами в точках

Решение. Найдем координаты векторов

Вычислим объем параллелепипеда, построенного на векторах

Пример 17.Лежат ли точкив одной плоскости?

Решение. Найдем координаты векторов

Проверим, компланарны ли векторы

, для этого вычислим их смешанное произведение:

следовательно, векторы некомпланарны, а, значит, точки не лежат в одной плоскости.

 


Дата добавления: 2015-04-15; просмотров: 5; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Векторное произведение векторов. Результатом перемножения двух векторов может быть не только скаляр, но и вектор | Общее уравнение прямой.
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2020 год. (0.013 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты