![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Линейные операции над векторами.Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число. Пусть Это правило сложения векторов, называется правилом треугольника. Сумму двух векторов можно построить по правилу параллелограмма.
Сложение трех векторов Под разностью векторов Отметим, что в параллелограмме построенном на векторах Можно вычитать по следующему правилу:
Произведение вектора Из определения произведения вектора на число, следует свойство этого произведения: 1. если 2. каждый вектор равен произведению его модуля на орт Свойство линейных операций над векторами: 1. 2. 3. 4. 5. Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с векторами, т.к. это делается в обычной алгебре, а именно слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать и выносить за скобки, как скаляры, так и векторные общие множители.
Тема: ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ Выражение «проекция вектора 1. Проекцией (геометрической) вектора Обозначение: ПрОХ Геометрическая проекция вектора на ось ОХ, называется также компонентой вектора по оси ОХ. 2.Проекцией (алгебраической) вектора Обозначение: ПрОХ Замечание: геометрическая проекция (компонента) вектора есть вектор, а алгебраическая проекция вектора есть число. Пример 1. Геометрическая проекция вектора
![]() Если векторы Алгебраические проекции одного и того же вектора на две равнонаправленные оси (О1Х1 и О2Х2, рис 4) равны (если оси параллельны, но противоположно направлены, то алгебраические проекции не равны, они отличаются знаком) (
![]() 3. Связь между компонентой (геометрической проекцией) и алгебраической проекцией вектора. Пусть Пример 2. При обозначениях рис 2 имеем
Тема: ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОЕКЦИЙ Если Если Если Свойство 1. Проекция вектора Следствие 1.1. Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол – прямой. Следствие 1.2. Проекция равных векторов на одну и ту же ось равны между собой. Пусть, например, Свойство 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось. Свойство 3. При умножении вектора При λ > 0 имеем При λ < 0: Свойство справедливо, очевидно, и при λ = 0. Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.
Тема:РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ОРТАМ КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях ОХ, ОУ и OZ единичные векторы (орты), обозначаемые i , j , k соответственно (см. рис. 3). Рис.3 Выберем произвольный вектор Найдем проекции вектора А так как Обозначим проекции вектора Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа Векторное равенство часто записывают в символическом виде: Равенство
Пусть углы вектора Подставим выражения Сократив на т. е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице. Легко заметить, что координатами единичного вектора Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т.е. сам вектор.
|