Теорема 1.

Пусть векторы и имеют координаты

.

Векторное произведение этих векторов имеет координаты

.

Можно расписать определители:

или представить в виде

.

доказательство. Рассмотрим векторные произведения базисных векторов:

(1)

.

Разложим векторы и по базису :

.

На основании свойств векторного произведения мы можем перемножать правые части почленно

с учетом формул (1).

Пример 1.Найти координаты векторного произведения векторов

.

Решение. Пусть .

.

Пример 2: Даны три точки: .

Найти площадь треугольника АВС ( ).

Решение.

.

Найдем координаты векторов .

.

.

Тема:НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Установление коллинеарности векторов:

Если ║ , то =0 (и наоборот), т.е.

Нахождение площади параллелограмма и треугольника:

Согласно определению векторного произведения векторов а и b |а хb | = |а| * |b |sing , т. е. S _пар = |а х b |. И, значит, DS =1/2|а х b |.

Определение момента силы относительно точки:

Пусть в точке А приложена сила F =АВ и пусть О — некоторая точка пространства (см. рис. 20).

Из физики известно, что моментом силы F относительно точки О называется вектор М, который проходит через точку О и:

1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;

2) численно равен произведению силы на плечо

3) образует правую тройку с векторами ОА и A В.

Стало быть, М=ОА х F .

Нахождение линейной скорости вращения:

Скорость v точки М твердого тела, вращающегося с угловой скоростью w вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера v =w хr , где r =ОМ, где О—некоторая неподвижная точка оси (см. рис. 21).

Тема: СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЁХ ВЕКТОРОВ

Даны три произвольных вектора .

Определение. Если результат векторного произведения скалярно умножить на вектор , то – это смешанное произведение векторов .