Теорема 3.

Пусть векторы имеют в ортонормированном базисе координаты . Тогда смешанное произведение этих векторов можно представить в виде

.

доказательство. .

По теореме о векторном произведении:

.

Умножим векторное произведение скалярно на вектор :

.

По следствию 2 необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю определителя, составленного из координат векторов:

компланарны.

Пример 3. Даны четыре точки: . Найти объем тетраэдра АВСD.

Решение. Объем тетраэдра равен одной шестой объема параллелепипеда с теми же основанием и высотой:

.

Координаты векторов .

По теореме 3

.

Тема: НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Определение взаимной ориентации векторов в пространстве:

Определение взаимной ориентации векторов а, b и с основано на следующих соображениях. Если abc > 0 , то а , b , с — правая тройка; если abc <0 , то а, b , с - левая тройка.

Установление компланарности векторов:

Векторы а, b и с компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю

Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды:

Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах а, b и с вычисляется как V =|аbс|, а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен V =1/6*|abc |.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ: «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА».

Задача 1. Разложить вектор по векторам

Решение. Разложить вектор по векторам – значит представить его в виде

(1)

где - неизвестные пока числа. Переходя в равенстве (1) к координатам векторов, получим

Как известно у равных векторов равны соответствующие координаты,

(2)

Решив систему (2), найдём . Следовательно, .

Задача 2. Найти вектор коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

Решение. В силу коллинеарности векторов и вектор можно представить в виде где – пока неизвестный множитель. Для его определения используем второе условие:

.

Отсюда , поэтому .

Задача 3. Найти вектор , перпендикулярный векторам и и образующий с осью Ох тупой угол, если .

Решение. Найдём вектор .

Так как перпендикулярен векторам и , то он коллинеарен вектору . Следовательно, .

По условию т.е. или . Вектор образует тупой угол с осью Ох, поэтому его проекция на эту ось должна быть отрицательной, отсюда и .