![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Теоретический анализ влияния поверхностного натяжения жидкости на устойчивость струиПредположим, имеется сплошная цилиндрической формы струя идеальной жидкости. Трение на границе раздела фаз отсутствует. Силы тяжести не влияют на характер движения жидкости (т.е. силы тяжести не учитываем). Течение жидкости в струе безвихревое. При сделанных допущениях в системе координат движущейся со скоростью жидкости - жидкость неподвижна.
Рис. 6.1. Форма струи Предположим, что в какой-то момент времени в результате случайного малого возмущения поверхность цилиндрической струи приобрела форму, показанную на рис. 6.1. и описываемую уравнением
где После такого возмущения поверхность жидкости придет в движение вследствие действия сил поверхностного натяжения (т.е. они стремятся сократить поверхность, но по инерции гребни будут опускаться ниже нейтральной линии и поверхность жидкости придет в колебательное движение). Следовательно, в выбранной нами системе координат жидкость в струе вблизи поверхности также придет в движение. Предположим, что это движение безвихревое, т.е. потенциальное движение (существует функция
Мы рассматриваем осесимметричную задачу. Поэтому решение удобно проводить в цилиндрических координатах. В этих координатах оператор Лапласа, в случае двухмерного движения, имеет вид:
Здесь мы принимаем во внимание тот факт, что движение по углу Для анализа устойчивости (т.е. будет ли нарастать во времени амплитуда колебаний поверхности или уменьшаться) воспользуемся энергетическим методом. Для этого найдем изменение полной энергии рассматриваемого жидкого тела, которая состоит из потенциальной энергии, обусловленной действием сил поверхностного натяжения, и кинетической энергии движущихся частиц жидкости. Энергия поверхностного натяжения прямо пропорциональна величине поверхности. Поэтому, для того чтобы найти изменение энергии поверхностного натяжения при искривлении поверхности, необходимо просто найти изменение поверхности. Величина
Учтем, что После интегрирования и подстановки пределов интегрирования получим:
С другой стороны,
Участок поверхности
Непрерывную функцию можно разложить в ряд Маклорена: Разложим функцию Если
Тогда:
Поверхность участка возмущенной струи длиной
После подстановки пределов интегрирования получим:
Так как так как Таким образом, изменение поверхности на участке струи длиной или изменение поверхности на единицу длины
Изменение потенциальной энергии при волнообразовании на единицу длины струи равно:
Если l > 2pR, то
|