Методы решения прямой задачи кинематики

Прямая задача о положении манипулятора одна из основных задач кинематики, состоящая в расчете положение и ориентацию некоторого звена манипулятора, чаще всего схвата, по заданным перемещениям в отдельных кинематических парах (1),

(1)

где - обобщенные координаты (углы поворотов звеньев и (или) перемещения), n - число степеней свободы, - координаты схвата.

В результате решения прямой задачи определяют положение и ориентацию захватного устройства относительно базовой системы координат.

Условно все методы решения прямой задачи можно разбить на три группы:

1. Методы, позволяющие записать нужные соотношения непосредственно из кинематической схемы манипулятора, т. е. из геометрических соображений без использования специальных приемов.

2. Методы, основанные на использовании матричного аппарата, например, матриц преобразования однородных координат размерностью 4´4.

В этом методе вводятся системы координат, связанные с каждым из подвижных звеньев, а также базовые системы, связанные с основанием. Составляются, т.н. матрицы перехода, от одной системы координат к ближайшей (соседней). Затем перемножают все полученные матрицы перехода, строят результирующую матрицу, связывающую систему координат основания с системой координат любого звена, например захватного устройства.

3. Методы, основанные на использовании понятия вектора конечного поворота или винта конечного перемещения.

Для описания движения твердого тела около неподвижной точки существует ряд кинематических параметров, таких, как углы Эйлера-Крылова, направляющие косинусы, параметры Родрига-Гамильтона, параметры Кейли-Клейна.

Широкое применение получили углы Эйлера, а также матричный аппарат, когда положение тела задается направляющими косинусами. Однако алгебра кватернионов позволяет более рационально описывать пространственное движение твердого тела. Среди всех кинематических параметров параметры Родрига-Гамильтона и Кейли-Клейна занимают особое место. Эти параметры не вырождаются при любом положении твердого тела, в отличие от углов Эйлера. Число этих параметров равно четырем, поэтому они имеют одно уравнение связи, в отличие от шести для направляющих косинусов. Применение кватернионов позволяет создать весьма удобный и наглядный формализм, использующий параметры Родрига-Гамильтона.

Для описания произвольного пространственного положения тела используются традиционно матрицы преобразования однородных координат 4´4. Однако, в последнее время, широко используется аппарат бикватернионов, основанный на дуальных параметрах Эйлера (Родрига - Гамильтона).