Кватернионы (кватернионные матрицы)

Решим ту же задачу, используя аппарат кватернионов. Здесь каждый плоский поворот при вращении систем координат будет описываться кватернионом вращения , где - единичный вектор оси вращения, - угол поворота. Таким образом, получим ряд кватернионов, соответствующих переходу от одного звена манипулятора к другому. А именно - при переходе от системы координат к получим два кватерниона:

1) - кватернион поворота вокруг оси на ,

2) - кватернион поворота вокруг оси на .

Результирующий кватернион получаем путем перемножения кватернионов и , в соответствии с правилами кватернионного произведения

(45)

Совмещение системы координат с происходит при повороте вокруг оси на угол . Кватернион вращения в этом случае имеет вид

.

(46)

Кватернион , определяющий переход от системы координат к , аналогичен кватерниону

(47)

Полученные кватернионы (45) - (47) перемножим между собой.

Результирующий кватернион вращения, связывающий основание и последнее звено манипулятора, имеет вид:

,

Группируя между собой элементы, и используя тригонометрические тождества, в результате получим:

,

(48)

где компоненты кватерниона имеют вид (49):

(49)

Кватерниону поворота можно поставить в соответствие кватернионную матрицу размерностью 4´4, составленную из параметров Родрига - Гамильтона, составляющих кватерниона, вида:

,

(50)

а операция перемножения кватернионов будет соответствовать перемножению матриц, составленных из компонент соответствующих кватернионов поворотов. Тогда для ранее полученных при описании движения манипулятора кватернионов можно составить следующие кватернионные матрицы.

Переход ® описывается матрицами вида

, .

(51)

Переход ® - матрицей

,

(52)

Переход ® - матрицами (53). Результирующую матрицу получим при перемножении матриц перехода (51) - (53). И в результате, матрица перехода от основания к захвату имеет вид (54).

, .	(53)
.	(54)