Аналитические методы

К достоинствам аналитического метода решения обратной задачи кинематики относят получение произвольной точности решения. Однако, нахождение точного решения в виде аналитических зависимостей для обобщенных координат от конструктивных параметров и заданного вектора положения манипулятора представляется возможным не для всех манипуляторов. Аналитическое решение, таким образом, существует только для роботов с определенной конструкцией. Например, оси части смежных сочленений должны пересекаться в одной точке или должны быть параллельны, либо перпендикулярны между собой.

Нахождение обобщенных координат в явном виде достаточно сложная задача, поскольку уравнения являются нелинейными. Для упрощения задачи существует ряд методов предназначенных для более простого получения аналитических выражений. Метод обратных преобразований позволяет решать обратную задачу кинематики простых манипуляторов. Суть метода заключается в определение углов поворотов звеньев из уравнений для отдельных элементов имеющегося матричного уравнения. Например, для углов Эйлера (задающих ориентацию схвата) (3) получим систему уравнений (37).

	(36)
	(37)

Откуда можно определить

(38)

Функция arccos считается неустойчивой вследствие того, что точность вычисления зависит от этого значения, кроме того, в точках, где принимает близкие к нулю значения, т. е. или значения в (38) либо не определены, либо дают низкую точность вычислений. Обобщенные координаты чаще выражаются через функцию arctg с учетом принадлежности аргумент соответствующему квадранту.

Элементы матрицы в левой части матричного уравнения (36) заданы, а элементы матриц, стоящих в правой части этого уравнения, неизвестны и зависят от . В методе предлагается последовательно умножать слева обе части уравнения на матрицы обратных преобразований и определять искомые углы из полученных таким образом матричных уравнений. Смысл таких преобразований состоит в переносе сначала одной из неизвестных величин из правой в левую часть уравнения, ее нахождении и переносе в левую часть следующей неизвестной, и повторении данной процедуры до нахождения всех переменных.

Хотя метод обратных преобразований дает общий подход к решению, из него не следует, каким образом выбирать из нескольких существующих решений одно, соответствующее требуемой конфигурации манипулятора.

Для нахождения решения обратной задачи кинематики по заданной матрице манипулятора используется геометрический подход, дающий также и способ выбора единственного решения для конкретной конфигурации манипулятора. Данный способ, рассмотренный на примере шестизвенного манипулятора типа Пума, подробно описанный в [1].

Кроме того, в [4] предложено решение обратной задачи кинематики для того же манипулятора, полученное в дуальных параметрах Родрига – Гамильтона, а именно с помощью бикватернионных матриц.

Как уже отмечалось, к недостаткам аналитического решения относятся сложность получения обобщенных координат в явном виде и неопределенность, связанная с кинематической неоднозначностью и используемыми тригонометрическими функциями. Однако основным недостатком все же является невозможность получение решения для произвольных конструкций манипуляторов. Вернее манипуляторы уже проектируются с учетом того, что описание кинематики будет возможно с помощью аналитический выражений.

В случае если решение обратной задачи в виде аналитических выражений не возможно используются численные методы.