Метод Р. Бёка

Метод німецького статистика Бёка (1824-1907) використовується у випадку, коли ми маємо дані перепису населення і дані про смертність у попередній рік або у рік перепису. При побудові німецьких таблиць смертності за 1933 рік Бёк запропонував вихідним показником взяти q_x, обчисливши його через p_x = 1 – q_x.

		Ах+2
Вх+2			Ах+1
Сх+1	Вх+1			Ах
	Сх	Вх

р_х можна представити формулою:

За даними демографічної сітки визначимо необхідні дані:

Перша дріб – ймовірність для тих, хто дожив до віку х, дожити до кінця календарного року. Друга – ймовірність для тих, хто дожив до початку календарного року, дожити до віку х+1.

За допомогою демографічної сітки визначимо необхідні для розрахунку значення:

А_хА_х+1 – чисельність населення у віці х за даними перепису

А_хВ_х = А_хА_х+1 + А_хВ_хА_х+1

А_х+1В_х+1 = А_х+1А_х+2 + А_х+1В_х+1А_х+2

В_хВ_х+1 = А_х+1В_х+1 + В_хВ_х+1А_х+1

Від р_х перейдемо до q_x за допомогою наведеної вище формули:

q_x = 1 - p_x

Сучасний метод з вихідним показником

А

Метод вперше був запропонований англійцем Фарром і знаменитим бельгійським математиком і статистиком А.Кетле, чому він і носить назву метода Кетле-Фарра. Цим методом побудовані практично усі сучасні таблиці смертності, звідкіля його друга назва "сучасний " метод.

Метод має декілька різновидів в залежності від того, які вихідні дані використовуються, а саме: а) дані про смертність і народжуваність; б) дані про смертність за деякий період і перепису, проведеного в цей же період (власне метод Кетле-Фарра); в) дані двох переписів і смертності між ними.

Ми розглянемо варіант б.

Гіпотезою цього методу є припущення, що в межах вікової групи (1 рік) чисельність населення, а отже й число померлих, розподіляються рівномірно. За таких умов емпіричний віковий коефіцієнт смертності приблизно дорівнює табличному коефіцієнту смертності ( ). Проблема полягає в переході від вікового коефіцієнта смертності до ймовірності смерті в інтервалі (х, х+1) років. Перший показник розраховується як відношення числа померлих до середнього населення, а другий – до чисельності населення на початок вікового інтервалу.

Від легко пере

йти до q_x:

(1)

Після перетворення формули одержимо:

2m_x – q_xm_x = 2m_x

2q_x + q_xm_x = 2m_x

q_x(2 + m_x)) = 2m_x

(2)

Для визначення m_x за середнє населення приймають L_x по діагоналі, що проходить через середину періоду таблиці. Періодом таблиці називається відрізок часу, за який вивчається смертність населення. В нашому прикладі він дорівнює 2 рокам.

Число померлих представляє собою суму всіх М_х за рік перед переписом і рік, коли проводився перепис. На фрагменті демографічної сітки видно, що M_x = B_xB_x+1B'_x+1B'_x, а L_x = S_x.

Тепер підставимо значення в формулу 2) і отримаємо:

Цей метод є базовим для багатьох сучасних методів побудови таблиць смертності, в тому числі і українських.

Побудова таблиць смертності представляє собою в принципі нескладну, але значно трудомістку процедуру. Вона складається з двох етапів:

Ø розрахунок вихідного показника для усіх вікових груп на основі даних статистики смертності (розподіл померлих за віком);

Ø обчислення усіх показників таблиці за формулами їх взаємозв'язку.