Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Общая характеристика математических моделей




 

Введем понятие математической модели технического объекта. Математическая модель представляет собой идеализированную схему технического объекта (или его составных частей), построенную путем отображения в ней наиболее существенных свойств и «элементарных» процессов с помощью комплекса математических зависимостей и логических соотношений.

Такая модель позволяет решать поставленные задачи обобщенно, обеспечивает краткость и четкость фиксации свойств и отношений объекта - оригинала, дает его знаковую интерпретацию.

Формирование математической модели осуществляется на основе выделенного комплекса параметров, а также различных уровней абстрагирования и упрощения реального технического объекта. Тем не менее, такая идеализированная модель позволяет получать довольно точные результаты. Это объясняется тем, что для определения основных характеристик исследуемого объекта при моделировании достаточно учесть относительно небольшое число определяющих параметров. Сложность, однако, состоит в том, что они должны быть правильно выбраны и между ними должны быть установлены объективные связи; необходимо также решать вопрос о полноте модели. При этом важно не столько знание математики, сколько глубокое понимание сущности поведения объекта-оригинала, где тесно переплетаются и знание теории, и опыт, и интуиция.

К настоящему времени установится общий порядок построения математических моделей, при котором сначала исходят из простых условий, а затем шаг за шагом по мере увеличения глубины анализа и накопления необходимой информации поднимаются по ступеням иерархической градации, переходя к постепенному усложнению моделей [18].

Качество получаемых моделей нельзя оценить ни по структуре, ни по форме. Единственным критерием такой оценки может служить лишь достоверность полученных на модели прогнозов поведения реального объекта.

Любая математическая модель должна рассматриваться в совокупности трех ее сторон - смысловой, аналитической и вычислительной.

Смысловая сторона модели или содержательное описание - представляет собой начальную стадию математической формализации. При этом производится определение границ исследуемого объекта, обобщаются сведения о физической природе протекающих в нем процессов и соответствующих количественных характеристиках, выделяется степень взаимодействия его элементов, выбираются управляемые переменные и критерии оптимальности, учитываются необходимые ограничения и принятые допущения.

Аналитическая сторона модели или математическое описание - является выражением содержательного описания на языке математики в виде некоторой системы уравнений связи. При этом вся совокупность используемых параметров представляется в абстрактных терминах, все качественные зависимости между ними переводятся в функциональные или иные соотношения, устанавливаются граничные и начальные условия.

Применяемый математический аппарат должен «вписываться» в моделируемый объект и достоверно отражать специфику его структурных и динамических особенностей. По своей форме математическое описание модели обычно состоит из зависимостей, отражающих общие физические законы: уравнений, описывающих «элементарные» процессы (например, движение материальной точки по поверхности рабочего органа машины); различных эмпирических и полуэмпирических соотношений, полученных в результате статистической обработки экспериментальных данных.

Примерный состав математического описания модели представлен на рис. 1.4.

Математическое описание
Общие материальные и энергетические балансы
Общие закономерности «элементарных» процессов
Теоретические и эмпирические соотношения
Ограничения на переменные параметры объекта

 

Рисунок 1.4 - Состав математического описания модели

 

Вычислительный аспект математической модели - алгоритм решения с использованием компьютера - определяется как упорядоченная последовательность операций, которые надо выполнить над уравнениями связи, чтобы получить искомые результаты самым эффективным путем.

При разработке алгоритма должны быть

· установлены размерности всех используемых величин,

· определены допустимые границы, в которых будут изменяться параметры,

· и задана предельная ошибка вычислений.

Основными требованиями к математическим моделям являются универсальность, математическая строгость, точность и экономичность.

Универсальность математической модели определяется возможностью ее использования для различных технических объектов. В настоящее время получили широкое распространение так называемые модульные (блочные) модели, которые описываются известными физическими закономерностями. При разработке математической модели какого-либо конкретного технического объекта модульные модели соединяются между собой по принципу подчинения. Образующаяся многоуровневая цепочка моделей обладает рядом преимуществ, т.к. на каждом уровне решаются свои задачи, а на вышестоящие и нижестоящие уровни по уравнениям связи (каналам связи) передается минимальный объем информации.

Использование модульных моделей существенно сокращает затраты труда при моделировании технических объектов, позволяет применять унифицированные формы ввода в ЭВМ данных об их свойствах и систематизированные процедуры обработки полученных результатов.

Математическая строгость связана с качеством идеализации объекта оригинала. Под идеализацией понимается выделение основных и отбрасывание второстепенных (в условиях поставленной задачи) свойств и характеристик указанного объекта.

На практике идеализация осуществляется различными путями:

- переходом от распределенных параметров к сосредоточенным:

- сокращением числа независимых переменных;

- снижением размерности решаемой задачи (от трехмерной к двухмерной и одномерной):

- заменой переменных константами:

- изменением принимаемых ограничений;

- усреднением свойств по объему и направлению (идеальное перемешивание; гипотезы плоских сечений и т.п.).

В любом случае математическая строгость соответствует принятой степени идеализации.

Точность математической модели оценивается ее способностью отображать значения искомых параметров моделируемого объекта с ошибкой, не более заданной.

Экономичность математической модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов ЭВМ (машинного времени и памяти) на ее реализацию, а также количеством параметров, используемых в модели.

Требования по универсальности, математической строгости и экономичности моделей противоречивы. Необходимо иметь удачное компромиссное решение. По этой причине в каждом случае следует располагать не одной, а несколькими математическими моделями.

Математические модели отличаются одна от другой по назначению, структуре, степени детализации свойств моделируемого объекта, по способу получения. Поэтому их можно классифицировать по целому ряду признаков.

Так, по назначению выделяют модели функционирования и оптимизационные модели. В первом случае модели предназначены для выявления характерных зависимостей между параметрами технического объекта в процессе его функционирования. Во втором случае модели служат для определения наилучших, оптимальных значений регулируемых параметров.

Разделение моделей по признаку предсказуемости на вероятностные и детерминированные является наиболее фундаментальным элементом классификации.

Если в модели внешние воздействия и внутренние возмущения приниматься случайными, т.е. являются непредсказуемыми, то модель называют вероятностной. Ее решение формируется в виде распределения вероятностей.

Если же указанные воздействия и возмущения носят закономерный характер - а реакция на них предсказуема, то модель называют детерминированной. Ее решение формируется в виде числа.

В зависимости от того, входит время в качестве независимой переменной в математическое описание модели или нет. все модели принято разделять на динамические и статические.

В динамических моделях отображается инерционность исследуемых объектов. При этом значения выходных параметров в определенный момент времени зависят не только от значений остальных параметров, но и от предшествующих воздействий, т.е. от предыстории. Обычно интервал времени, относящийся к предыстории, является небольшим. Он называется «памятью» объекта и характеризует его запаздывание, т.е. последействие.

Если в модели последействие и текущее время не учитываются, то она называется статической.

Весьма существенно деление математических моделей на линейные и нелинейные. Модель называется линейной, если для нее выполняется принцип суперпозиции (наложения). При этом каждый выходной параметр связан линейной зависимостью с другими параметрами.

Модель является нелинейной, если реакция на два различных входных возмущения не эквивалентна сумме реакций на каждое из этих возмущений в отдельности, т.е. когда нарушается принцип суперпозиции.

Линейные модели значительно проще нелинейных. Поэтому их широко используют при моделировании. И хотя большинство процессов в технических объектах являются нелинейными, при моделировании их стремятся линеаризовать даже за счет некоторого снижения точности.

По способу получения математические модели подразделяются на 4 большие группы:

аналитические;

эмпирические;

стохастические;

имитационные.

Аналитическая модель предполагает запись в виде результата аналитического решения исходных уравнений.

При разработке эмпирической математической модели предполагается использование экспериментальных данных, полученных при испытаниях объектов. Результаты таких испытаний всегда представляют собой наборы величин, характеризующих работу объекта или системы при различных сочетаниях управляющих параметров. Переход к эмпирическим моделям предполагает заведомый отказ от аналитических методов исследования. Поэтому эмпирические модели более разнообразны и включают в себя различные по форме математические зависимости.

Стохастическим модели создаются с помощью понятий и методов теории случайных процессов. Модели временных рядов, необходимые для получения оптимального прогнозирования и регулирования, являются стохастическими.

Существует класс объектов, для которых по различным причинам не разработаны аналитические модели, либо не разработаны методы решения полученной модели. В этом случае аналитическая модель заменяется имитационной моделью.

К имитационному моделированию прибегают, когда: дорого или невозможно экспериментировать на реальном объекте; невозможно построить аналитическую модель: в системе есть время, причинные связи, последствие, нелинейности, стохастические (случайные) переменные; необходимо сымитировать поведение системы во времени. Имитационное моделирование позволяет имитировать поведение системы во времени. При этом временем в модели можно управлять: замедлять в случае с быстропротекающими процессами и ускорять для моделирования систем с медленной изменчивостью. Можно имитировать поведение тех объектов, реальные эксперименты с которыми дороги, невозможны или опасны.


Поделиться:

Дата добавления: 2014-11-13; просмотров: 644; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты