Общая характеристика математических моделей

Универсальность математической модели определяется возможностью ее использования для различных технических объектов. В настоящее время получили широкое распространение так называемые модульные (блочные) модели, которые описываются известными физическими закономерностями. При разработке математической модели какого-либо конкретного технического объекта модульные модели соединяются между собой по принципу подчинения. Образующаяся многоуровневая цепочка моделей обладает рядом преимуществ, т.к. на каждом уровне решаются свои задачи, а на вышестоящие и нижестоящие уровни по уравнениям связи (каналам связи) передается минимальный объем информации.

Использование модульных моделей существенно сокращает затраты труда при моделировании технических объектов, позволяет применять унифицированные формы ввода в ЭВМ данных об их свойствах и систематизированные процедуры обработки полученных результатов.

Математическая строгость связана с качеством идеализации объекта оригинала. Под идеализацией понимается выделение основных и отбрасывание второстепенных (в условиях поставленной задачи) свойств и характеристик указанного объекта.

На практике идеализация осуществляется различными путями:

- переходом от распределенных параметров к сосредоточенным:

- сокращением числа независимых переменных;

- снижением размерности решаемой задачи (от трехмерной к двухмерной и одномерной):

- заменой переменных константами:

- изменением принимаемых ограничений;

- усреднением свойств по объему и направлению (идеальное перемешивание; гипотезы плоских сечений и т.п.).

В любом случае математическая строгость соответствует принятой степени идеализации.

Точность математической модели оценивается ее способностью отображать значения искомых параметров моделируемого объекта с ошибкой, не более заданной.

Экономичность математической модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов ЭВМ (машинного времени и памяти) на ее реализацию, а также количеством параметров, используемых в модели.

Требования по универсальности, математической строгости и экономичности моделей противоречивы. Необходимо иметь удачное компромиссное решение. По этой причине в каждом случае следует располагать не одной, а несколькими математическими моделями.

Математические модели отличаются одна от другой по назначению, структуре, степени детализации свойств моделируемого объекта, по способу получения. Поэтому их можно классифицировать по целому ряду признаков.

Так, по назначению выделяют модели функционирования и оптимизационные модели. В первом случае модели предназначены для выявления характерных зависимостей между параметрами технического объекта в процессе его функционирования. Во втором случае модели служат для определения наилучших, оптимальных значений регулируемых параметров.

Разделение моделей по признаку предсказуемости на вероятностные и детерминированные является наиболее фундаментальным элементом классификации.

Если в модели внешние воздействия и внутренние возмущения приниматься случайными, т.е. являются непредсказуемыми, то модель называют вероятностной. Ее решение формируется в виде распределения вероятностей.

Если же указанные воздействия и возмущения носят закономерный характер - а реакция на них предсказуема, то модель называют детерминированной. Ее решение формируется в виде числа.

В зависимости от того, входит время в качестве независимой переменной в математическое описание модели или нет. все модели принято разделять на динамические и статические.

В динамических моделях отображается инерционность исследуемых объектов. При этом значения выходных параметров в определенный момент времени зависят не только от значений остальных параметров, но и от предшествующих воздействий, т.е. от предыстории. Обычно интервал времени, относящийся к предыстории, является небольшим. Он называется «памятью» объекта и характеризует его запаздывание, т.е. последействие.

Если в модели последействие и текущее время не учитываются, то она называется статической.

Весьма существенно деление математических моделей на линейные и нелинейные. Модель называется линейной, если для нее выполняется принцип суперпозиции (наложения). При этом каждый выходной параметр связан линейной зависимостью с другими параметрами.

Модель является нелинейной, если реакция на два различных входных возмущения не эквивалентна сумме реакций на каждое из этих возмущений в отдельности, т.е. когда нарушается принцип суперпозиции.

Линейные модели значительно проще нелинейных. Поэтому их широко используют при моделировании. И хотя большинство процессов в технических объектах являются нелинейными, при моделировании их стремятся линеаризовать даже за счет некоторого снижения точности.

По способу получения математические модели подразделяются на 4 большие группы:

аналитические;

эмпирические;

стохастические;

имитационные.

Аналитическая модель предполагает запись в виде результата аналитического решения исходных уравнений.

При разработке эмпирической математической модели предполагается использование экспериментальных данных, полученных при испытаниях объектов. Результаты таких испытаний всегда представляют собой наборы величин, характеризующих работу объекта или системы при различных сочетаниях управляющих параметров. Переход к эмпирическим моделям предполагает заведомый отказ от аналитических методов исследования. Поэтому эмпирические модели более разнообразны и включают в себя различные по форме математические зависимости.

Стохастическим модели создаются с помощью понятий и методов теории случайных процессов. Модели временных рядов, необходимые для получения оптимального прогнозирования и регулирования, являются стохастическими.

Существует класс объектов, для которых по различным причинам не разработаны аналитические модели, либо не разработаны методы решения полученной модели. В этом случае аналитическая модель заменяется имитационной моделью.

К имитационному моделированию прибегают, когда: дорого или невозможно экспериментировать на реальном объекте; невозможно построить аналитическую модель: в системе есть время, причинные связи, последствие, нелинейности, стохастические (случайные) переменные; необходимо сымитировать поведение системы во времени. Имитационное моделирование позволяет имитировать поведение системы во времени. При этом временем в модели можно управлять: замедлять в случае с быстропротекающими процессами и ускорять для моделирования систем с медленной изменчивостью. Можно имитировать поведение тех объектов, реальные эксперименты с которыми дороги, невозможны или опасны.