Критерии подобия. Теоремы подобия

Высокоэффективным средством исследования технических объектов является теория подобия. Ее методы позволяют сократить размерность задачи, сделать результаты исследования более наглядными и распространить данные исследования на группу подобных объектов.

Теория подобия нашла широкое применение, как средство, значительно уменьшающее трудовые и материальные затраты, сокращающее сроки проектирования и внедрение объектов в производство, позволяющее выбирать оптимальные (рациональные) значения геометрических, силовых и других параметров машин.

Более ста пятидесяти лет назад возникла новое направление научного знания – учение о подобие. В 1686 г. И.Ньютоном было высказано гениальное предвидение, а в 1848 г. Ж.Бертраном была сформулирована первая теорема подобия для механических систем о существовании инвариантов подобия. Исходя из математического выражения второго закона Ньютона, Бертран показал, что у подобных явлений есть комплекс, имеющий одно и то же значение в сходственных точках подобных явлений. Этот комплекс называется инвариантом,или критерием механического подобия.

Для овладения приемами теории подобия необходимо рассмотреть ее основные понятия и теоремы.

Два элемента подобны, если характеристики одного могут быть получены путем пересчета характеристик другого.

Различают абсолютное и практическое подобие. Первое требует тождества всех процессов в объектах в пространстве и во времени. Второе же требует подобия процессов, которые существенны для данного исследования.

В общем случае различают три вида подобия: геометрическое, кинематическое и динамическое. Наиболее простым является подобие геометрическое, требующее, чтобы линейные размеры натуры и модели находились в постоянном соотношении, другими словами, модель повторяет натуру в каком-то масштабе.

Это требование можно записать в виде , где - масштабный множитель. Для площадей (S) и объемов (V)

Применительно к физическим явлениям элементарные представления геометрического подобия расширяются и распространяются на все величины, характеризующие данный процесс. Если учесть, что они могут изменяться как во времени, так и в пространстве, образуя поля, то возникает понятие о временном подобии и подобии полей, называемое кинематическим подобием.

В механике жидкости оно сводится к подобию полей скоростей в потоках, движущихся в геометрически подобных каналах.

И наконец, имея в виду, что механическое движение происходит под действием сил, вводится понятие динамического подобия, которое требует, чтобы в соответствующих точках натуры и модели силы находились в постоянном соотношении.

Рассмотрим простейший пример. Известно, что движение любой механической системы подчиняется закону Ньютона

(2.1)

Для двух подобных систем можно записать и

Разделив первое на второе получим:

или

Имея в виду, что имеем

По смыслу есть скорость, поэтому

(2.2)

Либо

(2.3)

Очевидно, что полученные комплексы безразмерны. Таким образом, для двух подобных систем сохраняется числовое равенство безразмерных комплексов . Кратко это условие можно записать так: . В честь Ньютона этот комплекс обозначается как

(2.4)

и называется числом подобия Ньютона, а выражение основным законом динамического подобия механических систем (законом Ньютона).

Величины L и u, входящие в (2.4), называются определяющим линейным размером и определяющей скоростью. При проведении опытов они выбираются экспериментатором произвольно, исходя из удобства их измерения.

Константы геометрического (кинематического, динамического) подобия связывают только два явления. Если существует константа подобия, то эти явления подобны в смысле этого физического параметра. Справедливо и обратное, если два явления подобны, то существует и константа подобия.

Инварианты подобия (безразмерные комплексы физических величин), выраженные отношением разнородных величин, называются критериями (числами) подобия. Итак, инвариант (критерий, число) подобия - это безразмерная комбинация физических параметров, характеризующих явление. Инвариант связывает все множество подобных явлений.

Критерии подобия обозначаются начальными буквами имен ученых, которые внесли большой вклад в развитие данной области знаний. Список основных критериев подобия, используемых в технике, приведен далее, в табл.2.1

Критерии подобия безразмерны, их значения для разных точек системы могут быть различными, но для сходственных точек подобных систем они одинаковые и не зависят от относительных размеров натуры и модели.

Критерии подобия имеют физический смысл, являясь мерами соотношения между какими-то двумя эффектами, силами и т.п., оказывающими влияние на протекание данного процесса.

Критерии подобия могут быть получены для любого процесса, если известны уравнения, описывающие этот процесс, или с помощью теории размерностей (этот способ будет рассмотрен ниже)

Один из наиболее известных критериев подобия является число Рейнольдса Re, равный отношению сил инерции движущегося текучего вещества к сумме сил внутреннего и внешнего трения.

Из приведенных выше материалов, можно сделать важные для исследователя выводы.

Во-первых, при моделировании становится ясно, как должна быть спроектирована и построена модель: она была геометрически подобна натуре.

Во-вторых, для обеспечения динамического подобия не требуется, чтобы все величины, определяющие характер процесса в натурном объекте, были численно равны аналогичным величинам в модели. Достаточным является равенство безразмерных комплексов, составленных из этих величин для натуры и модели, называемых инвариантами (критериями, числами) подобия.

Какие преимущества дает такой подход в практическом плане?

Из математической статистики известно, что число опытов, которое необходимо поставить для того, чтобы получить закономерность, достоверно описывающую какое-то физическое явление, определяется из соотношения:

(2.5)

где - число экспериментальных точек, которое необходимо снять для обеспечения представительности опыта ( ); k - число величин, подлежащих варьированию в опытах.

Таким образом, минимальное число опытов

(2.6)

Если в опытах варьируется число Ньютона (например, за счет изменения скорости), то и , но если изучать влияние каждой из величин ( , u, L), то и число опытов . Следовательно, использование числа подобия в качестве своеобразной «обобщенной переменной» позволяет уменьшить число необходимых опытов в 25 раз, а если для надежности принять , то в 100 раз.

В-третьих, можно ответить на вопрос о том, какие величины следует измерять в опытах и как переносить результаты на натурный объект. Так как при проведении опытов необходимо обеспечить равенство чисел подобия натуры и модели, то ясно, что измерению подлежат лишь те величины, которые входят в эти числа.

По результатам измерений можно вычислить числа подобия модели и, исходя из равенства их числам подобия натуры, произвести пересчет.

На главный вопрос теории подобия, как найти числа (критерии) дают ответ основные теоремы подобия.

В природе существуют только те подобные явления, у которых критерии одинаковы. Это и есть первая теорема подобия, которая носит имена Ньютона и Бертрана. Для явлений, подобных в том или ином смысле, существуют одинаковые критерии подобия.

После вывода данной теоремы началось ее практическое применение для обработки опытных данных в так называемых критериях подобия. О.Рейнольдс выразил закон движения жидкости по трубам одной общей формулой, названной впоследствии критерием Рейнольдса. Оказалось возможным объединить таким путем все численные данные опытов по гидравлическому сопротивлению, проведенными различными исследователями на воде, воздухе, паре, различных маслах и т.д. Фруд, изучая мореходные качества судов на моделях, представил результаты опытов в виде критериального уравнения, которые можно было распространить на суда, подобные по своей геометрической конфигурации испытанным моделям. Выдающийся русский ученый Н.Е.Жуковский положил теорию подобия в основу критериальной обработки опытов над моделями самолетов, продуваемых в аэродинамической трубе, для того, чтобы результаты опытов можно было перевести на подобные моделям самолеты.

Если бы уравнение физического процесса можно было составить из инвариантов подобия, то это было бы общее уравнение, одинаковое для всех подобных явлений.

Вторая теорема подобия устанавливает возможность такого преобразования физических уравнений и носит имя американского ученого Букингэма. Полное уравнение физического процесса может быть представлено зависимостью между критериями подобия, т.е. зависимостью между безразмерными величинами, определенным образом полученными из уравнения процесса.

Первая и вторая теоремы были выведены из предположения, что подобие явлений уже установленный факт. Обе теоремы устанавливают свойства подобных явлений, но они не указывают способа для определения подобия этих явлений. По каким признакам можно определить являются ли объекты или явления подобными?

Ответ на этот вопрос дает третья теорема подобия, которая носит имена М.В.Кирпичева и А.А.Гухмана: необходимыми и достаточными условиями для создания подобия является пропорциональность сходственных параметров, входящих в условия однозначности, и равенство критериев подобия сопоставляемых явлений. К условиям однозначности относятся следующие, не зависящие от механизма самого явления:

· геометрические свойства системы, в которой протекает процесс;

· физические параметры среды и тел, образующих систему;

· начальное состояние системы (начальные условия);

· условия на границах системы (граничные или краевые условия);

· взаимодействие объекта и внешней среды.

Процессы в объекте исследования описываются в общем случае системой дифференциальных уравнений связи между факторами и параметром. Необходимым условием подобия двух объектов является одинаковый вид системы уравнений. Только в этом случае характер процессов в объектах может быть одинаковым и их можно отнести к одному классу. Подобие кроме сходства систем уравнений предъявляет к объектам требования однозначности.

Любое дифференциальное уравнение описывает целый класс явлений, т.е. решение их многозначно. Так, например, уравнение Навье-Стокса может описывать движение жидкости в каналах, реках и океанах, движение атмосферных масс воздуха и т.п. Инженера интересует конкретное явление данного класса. Поэтому из множества возможных решений требуется лишь одно, соответствующее изучаемому явлению. Этого можно добится, если при постановке задачи ввести дополнительные так называемые условия однозначности, которые включают:

- данные о физических свойствах среды (плотность, вязкость);

- сведения о начальном состоянии системы (начальные условия);

- данные о поведении системы на её границах (граничные условия).

Инспекционный анализ представляет собой определенный алгоритм, включающий два этапа: на первом из них отношение дифференциальных величин заменяются отношениями самих переменных, на втором - уравнение приводится к безразмерному виду путем деления всех его членов на один из них, выбранный произвольно.

В табл.2.1 приведены основные числа подобия, которые используются при проектировании гидродинамических, теплотехнических, металлургических инженерных систем.

Таблица 2.1

Основные физические числа (критерии) подобия и их физический смысл

Число (безразмерный критерий)	Формула	Физический смысл
Гидромеханические процессы
Ньютона		Мера соотношения между действующей на систему силы и силы инерции
Вебера		Мера соотношения сил инерции и поверхностного натяжения, отражающее воздействие последней на движение потока
Рейнольдса		Мера соотношения сил инерции и вязкости, отражает влияние сил трения на движение потока
Фруда		Мера соотношения сил инерции и тяжести, отражает влияние последней на движение потока
Эйлера		Мера соотношения между изменением силы гидростатического давления и силой инерции, отражает влияние перепада давлений на движение потока
Галилея		Характеризует влияние сил тяжести и инерции при естественной конвекции
Архимеда		Характеризует влияние на силу тяжести плотности потока при естественной конвекции
Лященко		Характеризует влияние силы тяжести на осаждение твердых частиц в потоке
Гомохронности		Характеризует одинаковость протекания во времени нестационарных гидродинамических процессов
Боденштейна		Характеризует влияние продольного перемешивания на градиенты концентрации вещества в потоке
Маха		Характеризует влияние сжимаемости потока на его движение
Тепловые процессы
Нуссельта		Мера интенсивности теплоотдачи на границе раздела фаз
Прандтля		Мера соотношения вязкости и температуропроводных свойств теплоносителей; мера соотношения полей скоростей и температур в потоке
Рейнольдса		Характеризует режим движения теплоносителей
Пекле		Мера соотношения теплот, переносимых конвекцией и теплопроводностью
Грасгофа		Мера соотношения сил трения, инерции и подъемной (архимедовой), определяемой разностью плотностей в различных точках неизотермического потока при свободной конвекции
Фурье		Характеризует нестационарность переноса тепла путем теплопроводности при изменении температуры во времени
Био		Характеризует постоянство соотношения внутреннего термического сопротивления нестационарной теплопроводности к внешнему термическому сопротивлению теплоотдаче
Стэнтона		Характеризует соотношение количества тепла, переносимого конвекцией и движущимся потоком жидкости (газа); отражает интенсивность диссипации энергии в потоке
Массообменные (диффузные) процессы
Нуссельта		Безразмерный коэффициент массоотдачи
Пекле		Мера соотношения масс вещества, переносимых конвекцией и путем диффузии
Прандтля		Мера постоянства соотношений физических свойств жидкостей (газов) в подобных потоках; мера подобия профилей скоростей и концентраций в процессах массоотдачи
Фурье		Характеризует во времени скорости переноса вещества при нестационарной массоотдаче
Био		Мера соотношения внутри- и внешнедиффузионных сопротивлений при массопередаче с участием твердой фазы
Стэнтона		Характеризует подобие полей концентраций и скоростей в турбулентных потоках
Гухмана		Мера соотношения потенциала сушки и температуры среды; отражает влияние массобмена на теплообмен