Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Основные методы решения задач моделирования




Читайте также:
  1. Cтруктуры внешней памяти, методы организации индексов
  2. D – технология параметрического моделирования .
  3. GPSS World – общецелевая система имитационного моделирования
  4. Gt; во-вторых, когнитивной оценкой (cognitive appraisal), которую человек дает событию, требующему разрешения.
  5. Hешаем задачу
  6. I. Задачи настоящей работы
  7. I. Основные положения
  8. I. Решение логических задач средствами алгебры логики
  9. I. Цели и задачи проекта
  10. II. Методы искусственной детоксикации организма

 

На этапе программной реализации модели и реализации плана экспери­ментов необходим выбор методов решения задач моделирования. При этом используются три основные группы методов:

1) графические — оценочные приближенные методы, основанные на по­строении и анализе графиков;

2)аналитические — решения, полученные строго в виде аналитических выражений (пригодны для узкого круга задач);

3) численные — основной инструмент для решения сложных математических задач, основанный на применении различных численных методов, современных прикладных программ, средств визуализации и анализа получаемых результатов.

Аналитическое решение удается получить редко и чаще всего лишь при упрощенной формулировке задачи моделирования в линейном приближении. Основным средством моделирования является алгоритмический подход, реа­лизующий вычислительный эксперимент на персо­нальном компьютере. Получаемое на ЭВМ решение почти всегда содер­жит некоторую погрешность. Абсолютная погрешность

есть разность между приближенным и точным или идеальным хи значения­ми результата, а относительная погрешность определяется как

Наличие погрешности решения обусловлено рядом причин. Перечислим основные источники погрешности.

1. Математическая модель является лишь приближенным описанием реа­льного процесса (погрешность модели).

2. Исходные данные, как правило, содержат погрешности, поскольку яв­ляются результатами приближенных экспериментов (измерений) или решени­ями вспомогательных задач (погрешность данных).

3. Применяемые для решения задачи методы в большинстве случаев явля­ются приближенными (погрешность метода).

4. При вводе исходных данных в компьютер, выполнении им операций произво­дятся округления (вычислительная погрешность).

Погрешности, указанные в пунктах 1 и 2 — неустранимые на данном этапе решения, для их уменьшения приходится возвращаться вновь к построению математической, а иногда и концептуальной модели, проводить дополнительное эксперимен­тальное уточнение условий задачи.

Оценка обусловленности вычислительной задачи — еще одно обязательное требование при выборе метода решения и построении математической модели.

Пусть вычислительная задача корректна. Теоретически устойчивость зада­чи означает, что ее решение может быть найдено со сколь угодно малой по­грешностью, если гарантируется достаточно малая погрешность входных данных. Однако на практике их точность ограничена (и величиной гораздо большей, чем - машинная точность, р – разрядность компьютера, при этом округление производится усечением числа).



Как влияют малые, но конечные погрешности входных данных на реше­ние? Насколько сильно они искажают результат? Ответ на это дает понятие обусловленности задачи, т. е. чувствительности решения вычислительной задачи к малым погрешностям входных данных.

Задачу называют хорошо обусловленной, если малым погрешностям входных данных отвечают малые погрешности решения, и плохо обусловленной, если возможны сильные изменения решения. Часто возможно ввести количественную оценку степени обусловленности - число обусловленности. Его можно интерпретировать как коэффициент возможного возрастания погрешности в решении по отношению к вызвавшей их погрешности входных данных. Если установлено неравенство между этими погрешностями, то можно пользоваться следующими выражениями:

и

где νΔ - абсолютное число обусловленности νδ — относительное число обу­словленности. Для плохо обусловленных задач , неустойчивость соответ­ствует .



При каких значениях можно считать задачу плохо обусловленной? Это зависит от требований к точности решения и от уровня обеспечиваемой точ­ности исходных данных.

Если требуется найти решение с точностью 0.1 %, а входная информация задается с точностью в 0.02%, то при νδ= 10 уже будет плохая обусловлен­ность.

Однако если исходные данные задаются с δ(x*) < 0.0001 %, то при νδ= 103 - задача хорошо обусловлена (δ (у*) = 0.1 %).

Вычислительные методы, как правило, преобразуются к виду, удобному для програм­мной реализации. Можно выделить следующие классы численных методов:

Метод эквивалентных преобразований - исходную задачу заменяют другой, имеющей то же решение: нахождение корня нелинейного уравне­ния f(x) = 0 сводят к поиску точек глобального минимума Ф(х) = (f(х))2.

Методы аппроксимации - заменяют исходную задачу другой, решение которой близко к решению исходной задачи.

Методы конечно-разностные - основанные на замене производных конечными разностями, например

Прямые (точные) методы - решение может быть получено за конечное число элементарных операций (арифметические и извлечение корня). Многие прямые методы не годятся к применению в ЭВМ из-за чувстви­тельности к ошибкам округления.

Итерационные методы - методы последовательных приближений к ре­шению задачи. Задается начальное приближение решения, строится итерационная последовательность приближений к решению. Если эта последовательность сходится к решению, то говорят что итерационный процесс сходится. Множество начальных приближений, для которых метод сходится, называются областью сходимости метода.



Методы статистических испытаний (Монте-Карло) - основаны на мо­делировании случайных величин и построении статистических оценок решений задач (для моделирования больших систем). Для реализации этих методов используются генераторы случайных чисел.

Численные методы группируются вокруг типичных математических задач: задач анализа, алгебры, оптимизации, решения дифференциальных и интег­ральных уравнений, обратных задач (синтез). Этот этап решения заканчивает­ся выбором и обоснованием конкретных численных методов решения, разра­боткой алгоритма, которые могут быть программно реализованы средствами компьютерной техники.

 


Дата добавления: 2014-11-13; просмотров: 32; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.009 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты