Апериодическое (инерционное) звено

Апериодическое звено имеет передаточную функцию

, (4.25)

где k – передаточный коэффициент, T – постоянная времени.

Уравнение апериодического звена получим из (4.1) при

(4.26)

где

В качестве примера апериодического звена рассмотрим RC – цепочку (рис. 4.6). Входная величина RC–цепочки – напряжение U₁, выходная – напряжение U₂. По второму закону Кирхгофа

(4.27)

где

Выразим ток через напряжение на конденсаторе:

. (4.28)

Если исключить промежуточные переменные i и U_R, то уравнение (4.27) примет вид

(4.29)

который совпадает с (4.26) при k=1 и T=RC.

Запишем дифференциальное уравнение апериодического звена (4.26) в виде

(4.30)

Решим уравнение (4.30) методом интегрирующего множителя, задав начальное условие и полагая, что входное воздействие произвольная функция времени. Умножим правую и левую части уравнения (4.30) на вспомогательную функцию

(4.31)

Подберем функцию таким образом, чтобы в левой части уравнения (4.31) получилась производная от произведения

Для этого должно выполняться условие

(4.32)

Решим уравнение (4.32) как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

(4.33)

Подставив решение (4.33) в уравнение (4.31) и сократив последнее на получим:

(4.34)

С учетом начального условия окончательно получим решение в виде

(4.35)

где t^’ - переменная интегрирования.

Это полное решение уравнения (4.30) при произвольном воздействии. В нем можно выделить две составляющие: первая, зависящая от начального условия, является свободной составляющей; вторая носит название вынужденной составляющей. Используем решение (4.35) для получения переходной и весовой функций.

Характеристики звена:

а) Переходную функцию определяем при нулевом начальном условии и входном воздействии

(4.36)

б) Прежде, чем найти весовую функцию, остановимся на одном важном свойстве функции, которое называют фильтрующим. Рассмотрим интеграл от произведения функции на гладкую функцию :

(4.37)

Функция Примем, что импульс появляется в момент времени а заканчивается в момент времени где - бесконечно малая величина. С учётом этого запишем интеграл (4.37) как сумму трёх интегралов:

(4.38)

Первый и третий интегралы в выражении (4.38) равны нулю в силу условия а во втором интеграле :

(4.39)

Таким образом, получим, что интеграл от произведения гладкой функции на функцию равен значению функции в момент времени существования функции. Множитель в выражении (4.39) отражает зависимость интеграла от времени.

Весовую функцию апериодического звена ищем при нулевом начальном условии и входном воздействии При подстановке входного воздействия в решение (4.35) запишем его в виде :

(4.40)

Применим к решению (4.40) фильтрующее свойство функции:

(4.41)

Сравнивая выражение (4.41) с общим решением дифференциального уравнения апериодического звена (4.35), запишем последнее в виде:

(4.42)

Интеграл вида (4.42) называется интегралом свертки функций и Графики переходной и весовой функций апериодического звена приведены на рис. 4.7.

г) Частотные характеристики апериодического звена могут быть получены из выражения для частотной передаточной функции

(4.43)

где

АФХ апериодического звена при изменении частоты w от 0 до представляет собой полуокружность, диаметр которой равен передаточному коэффициенту k (рис. 4.8). При частотах выходная величина отстаёт от входной на 90⁰.

д) Уравнение ЛАХ: (4.44)

Сравнивая выражение (4.44) с уравнением ЛАХ дифференцирующего звена 1-ого порядка (4.15), можно сделать вывод, что ЛАХ апериодического звена есть зеркальное отображение ЛАХ дифференцирующего звена 1–ого порядка относительно горизонтальной асимптоты ЛФХ апериодического звена есть зеркальное отображение ЛФХ дифференцирующего звена 1 – ого порядка относительного оси частот.

На рис. 4.9 приведены графики ЛАХ и ЛФХ апериодического звена для случая k=10 в зависимости от нормированной частоты где сопрягающая частота.