![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Потенциал скорости.Сущность теоремы Стокса, по существу, сводится к утверждению о равенстве числовых значений интенсивности вихря и циркуляции, т.е.
С другой стороны, для потенциального потока по его определению Запишем выражения для проекций угловых скоростей. Из сказанного выше следует, что для безвихревого (потенциального) движения
Эти соотношения позволяют существенным образом упростить вычисления компонент скорости Рассмотрим выражение
Оно построено аналогично известному из механики твердого тела выражению для элементарной работы. Зададимся вопросом, в каком случае (а) является полным дифференциалом. Напомним, что если выражение для работы является полным дифференциалом, то силы называются консервативными или имеющими потенциал. Ответ на поставленный вопрос был дан Алесисом Клодом Клеро (с жизнью и деятельностью этого удивительного ученого можно познакомиться по превосходной книге: Идельсон Н.И. Этюды по истории небесной механики. - М.: Наука, 1975. - 494 с.) Клеро показал, что выражение типа (а) является полным дифференциалом, если обеспечивается равенство накрест взятых производных. Соотношения (6.1) как раз и удовлетворяют этому требованию, т.е. взятые накрест производные в (а) дают соотношения (6.1). Таким образом, при потенциальном движении выражение (а) является полным дифференциалом какой-то функции , и
С другой стороны, по общему правилу полный дифференциал может быть представлен как
Сопоставляя (6.2) и (6.3), получаем
По предложению Гельмгольца функцию называют потенциалом скорости. Таким образом, всякому движению жидкости, происходящему без вращения частиц, соответствует свой потенциал скорости. Справедливо и обратное утверждение: если существует потенциал скорости, то движение происходит без вращения частиц. Соотношения (6.4) можно получить и другим путем. Поскольку разные подходы к одному и тому же вопросу способствуют углубленному его пониманию, то получим эти же соотношения, используя другую методику. Как уже отмечалось, условием потенциальности является Сопоставляя эти соотношения, можем записать
Это означает, что вектор скорости можно рассматривать как градиент какой-то скалярной функции . Раскроем значения
Откуда, учитывая (6.5), получаем
т.е. вновь приходим к соотношениям (6.4). Пока что остается открытым вопрос о необходимости и целесообразности введения понятия о потенциале скорости. Чтобы разобраться в этом, следует иметь в виду, что к числу центральных задач гидромеханики относится определение сил, действующих на тела, обтекаемые потоками жидкости либо газа. Решение этих задач непосредственно связано с необходимостью расчета поля скоростей, т.е. определением проекций скоростей (
|