Скалярні характеристики матриць.

Кожна матриця має скалярну характеристику — ранг матриці. Рангом називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів-стовпців (рядків) матриці А. Існує й інше означення: найвищий порядок мінора матриці А, який відрізняється від нуля:

m, n – кількість відповідно рядків і стовпців матриці А.

Якщо rgA = min(m,n), то матриця А має повний ранг. Для рангу виконуються такі співвідношення:

а) rgA = rg ;

б) rg A = rgA;

в) rgAB min(rgA, rgB).

г) rg = n .

Для квадратної матриці існують також скалярні характеристики: слід матриці і її визначник (детермінант).

Слідом матриці розмірності (n х n) є сума елементів, що містяться на її головній діагоналі, тобто

Для сліду виконуються такі співвідношення:

а)

б) (А і В — матриці однакового порядку);

в) tr(AB) = tr(BA);

г) (коли А — симетрична);

д)

Детермінантом (визначником) квадратної матриці А n-го порядку називається алгебраїчна сума членів, кожний з яких містить n спів­множників, узятих по одному і лише по одному з кожного рядка (стовпця) визначника. Позначається:

det A або .

Визначник (n – 1)-го порядку, в якому викреслені і-й рядок і j-й стовпець, називається мінором елемента і позначається .

Мінор , який береться зі знаком , де і — номер рядка,
j — номер стовпця елементa , називається алгебраїчним доповненням цього елемента, а саме:

Визначник дорівнює сумі попарних добутків елементів будь-якого стовпця (рядка) на їх відповідні алгебраїчні доповнення:

Квадратна матриця, для якої , називається невиродженою. Кожна невироджена матриця має єдину обернену матрицю, для якої виконується:

Обернена матриця знаходиться з виразу

де J — приєднaна матриця.

Основні властивості оберненої матриці:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

Матриця, для якої , називається ортогональною.

Матриці, в яких елементами є окремі підматриці, називаються блоковими:

Розбиваючи матрицю на підматриці, слід додержувати таких правил:

— підматриці, що стоять поруч – і – — повинні мати однакову кількість рядків;

— підматриці, які стоять одна під одною – і – — повинні мати однакову кількість стовпців.

При додаванні (відніманні) блокових матриць, має насамперед виконуватись умова, що порядок відповідних матриць-доданків однаковий.

При множенні двох блокових матриць кількість стовпців першої матриці має дорівнювати кількості рядків другої матриці. З блоковими матрицями операцію множення виконують за тими самими правилами, що й зі звичайними матрицями.

Кронеккеровий добуток двох матриць

де ; .

Якщо матриця блокова, то .

Обернену блокову матрицю знаходимо за формулою Фробеніуса:

,

де ;

Детермінант блокової матриці А