![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Якщо то ; проте , тобто , оскільки , то . Звідси або .5. Матриця Приклад 5. Нехай
отже, матриця
Визначимо нову матрицю А так:
Матриця А — симетрична та ідемпотентна, оскільки Знайшовши характеристичні корені цієї матриці, тобто розв’язавши рівняння Диференціювання функції багатьох змінних Розглянемо операцію диференціювання функції багатьох змінних f (x1,x2 ... xn), коли змінні задано у формі матриці-рядка, або, що те саме, вектора, тобто X = (x1, x2 ... xn Означення 5. Градієнтом функції f(x) (позначається:
Нехай потрібно визначити градієнт функції Тоді
Отже, градієнт функції
Узявши до уваги, що
Далі розглянемо функцію Визначимо градієнт квадратичної форми. Для цього подамо
Знайдемо компоненти вектора-градієнта. Перший компонент
другий компонент: n-й компонент: Отже, градієнт від квадратичної форми
Отже, скорочено
Питання для самоконтролю. 1. Задані матриці: Знайдіть матриці суми (різниці): 2. Для матриць із завдання 1 знайдіть добутки: BA; CF; CK; AE; DE. Поясніть, чому не існує добутків AB; CD; FC; FB; KA; KE. 3. Для матриць із завдання 1 знайдіть транспоновані до них матриці. 4. Із множини матриць завдання 1 знайдіть симетричні. Яка ознака симетричної матриці? 5. Покажіть, що для матриць із завдання 1 справджується тотожність 6. Яка матриця називається ідемпотентною? Покажіть, що матриця 7. Назвіть скалярні характеристики матриць. 8. Покажіть, що для матриць А і С із завдання 1 9. Дано матрицю 10. Для матриці А із завдання 9 покажіть, що 11. Дано симетричну матрицю 12. Знайдіть визначник матриці А із завдання 11. 13. Для матриці А із завдання 11 покажіть, що 14. Яка матриця має обернену матрицю? Які з поданих далі матриць мають обернені: 15. Наведіть основні властивості оберненої матриці. 16. Задано матрицю Покажіть, що 17. Покажіть, що матриця є ортогональною. 18. Задана систему лінійних рівнянь Матриця, обернена до матриці системи, Знайдіть розв’язок даної системи рівнянь. 19. Яка матриця називається блоковою? 20. Задано по чотири блоки блокових матриць А і В: Знайдіть суму (різницю) блокових матриць 21. Яка умова множення блокових матриць? З відповідних блоків матриць А і В з попереднього завдання складіть дві матриці, які можна було б помножити одна на одну. 22. Задано матриці Знайдіть матрицю Кронеккeр-добутку (прямого множення) 23. Задана блочна невироджена матриця Знайдіть обернену матрицю 24. Яке рівняння називають характеристичним рівняння матриці А? 25. Яку назву мають корені характеристичного рівняння? 26. Чому дорівнює добуток 27. Знайдіть характеристичні корені і власні вектори матриці: 28. Дайте означення квадратичної форми. Запишіть її у розгорнутому вигляді і в матричній формі. 29. Коли квадратична форма є додатно визначеною і напіввизначеною? 30. Яку квадратичну форму називають випадковою квадратичною формою? 31. Чому дорівнює математичне сподівання випадкової квадратичної форми? 32. Сформулюйте властивості випадкової квадратичної форми.
|