![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Системи лінійних рівнянь.Система лінійних рівнянь в матричному вигляді записується АХ = В, дe
Якщо А — невироджена матриця, то розв’язок системи АХ = В знаходиться як
Система лінійних рівнянь АХ = 0, називається однорідною. Вона має нетривіальні розв’язки, якщо Корені рівняння Вектори Xk, які є розв’язком системи де Х — матриця власних векторів А;
Приклад 1. Знайти розвязок системи рівнянь. У матричному виді: AX = B;
отже,
Запам’ятайте: для матриці
Отже, Розв’язок системи: Розглянемо однорідну систему лінійних рівнянь: АХ = 0 Нехай А — квадратна матриця n-го порядку; Х — вектор-стовпець розміру n х1. Тривіальний розв’язок має вигляд: Коли це так, то система матиме безліч розв’язків. Їх можна нормувати, вимагаючи, наприклад, щоб виконувалася рівність Приклад 2. Знайти нетривіальні розв’язки однорідної системи рівнянь.
Матрицю А можна записати як систему трьох векторів:
Систему (1) подамо як лінійну комбінацію вектора
Неважко побачити, що Приклад 3. Знайти характеристичні корені матриці А. Запишемо рівняння
Запишемо характеристичне рівняння
Отже,
Нехай матриця А — симетрична, тоді
Підставивши поступово Приклад 4. Знайти характеристичні корені
Матриця А симетрична. Для визначення Щоб знайти власні вектори Нехай,
Нормалізуємо вектор
Підставимо (7) в (8): Звідси, Власний вектор
Для знаходження власного вектора Система (3) запишеться у вигляді
Нормалізуємо вектор
Підставивши (10) у (11), дістанемо: Власний вектор
Зауважимо, що оскільки Перевіримо, чи виконується (3): Отже, співвідношення
|