Задача вирівнювання статистичного ряду

При опрацюванні статистичного матеріалу часто необхідно розв’язувати задачу, яка полягає в тому, щоб підібрати для даного статистичного ряду теоретичну криву розподілу (функцію густини), яка б відобразила лише суттєві риси цього матеріалу, а не деякі випадковості, які завжди присутні в результатах спостережень (вимірювань) і, як правило, пов’язані із недостатнім обсягом експериментальних даних. Така задача називається “вирівнюванням (згладжуванням) статистичних рядів”.

Отже, підібрана крива розподілу з тої чи іншої точки зору найкращим чином повинна описувати даний статистичний розподіл.

Задача вирівнювання статистичних рядів – це задача про найкраще аналітичне зображення емпіричних функцій і вона, як відомо, значною мірою невизначена, її розв’язок, залежить від того, що вважати за “найкраще”. Питання про те, в якому класі функцій слід шукати найкраще наближення, вирішується тут не з математичних міркувань, а з таких, що пов’язані із фізичною суттю задачі, яка розв’язується, з врахуванням характеру отриманої емпіричної функції, а також міри точності виконаних спостережень. Досить часто принциповий характер функції, яка описує досліджувану залежність, відомий наперед з теоретичних міркувань, а з досліду необхідно отримати лише деякі числові параметри, що входять у вираз функції. Тоді задача вирівнювання статистичного ряду перетворюється на задачу раціонального вибору тих числових значень параметрів, для яких відповідність між статистичним розподілом та теоретичним є найкращою.

Розглянемо, досліджувану величину X – похибку вимірювання. Тоді з теоретичних міркувань можна стверджувати, що величина X підпорядковується нормальному закону

(6.79)

і задача вирівнювання стає задачею раціонального підбору параметрів mxі sxу виразі (3.79).

При цьому треба мати на увазі, що будь-яка аналітична функція f(x), за допомогою якої вирівнюється статистичний розподіл, повинна мати основні властивості функції густини розподілу

(6.80)

Припустимо, що з тих чи інших міркувань ми вибрали функцію f(x), яка задовольняє умови (3.80). Нехай у виразі цієї функції є декілька параметрів a, b, .... Необхідно підібрати ці параметри так, щоб функція f(x) найкращим чином описувала даний статистичний матеріал. Найбільш поширений метод розв’язування такої задачі – так званий метод моментів.

Згідно з методом моментів, параметри a, b, ... вибирають такими, щоб декілька важливих числових характеристик (моментів) теоретичного розподілу дорівнювали відповідним статистичним характеристикам. Якщо, наприклад, теоретична крива розподілу f(x) залежить тільки від двох параметрів a і b, то ці параметри вибирають так, щоб математичне сподівання mxі дисперсія Dxтеоретичного розподілу співпадали з їх статистичними оцінками, які знайдено з вибірки . Якщо функція f(x) залежить від трьох параметрів, то їх підбирають так, щоб співпадали перші три моменти і т.д.

Слід зауважити, що при вирівнюванні статистичних рядів нераціонально використовувати моменти порядку вище четвертого, оскільки точність їх обчислення різко зменшується зі збільшенням порядку моменту.

Припустимо, що якийсь статистичний розподіл вирівняно за допомогою деякої теоретичної кривої f(x) (див. Рис. 3.14). Як би добре не була підібрана теоретична крива, між нею і статистичним розподілом неминучі деякі розбіжності. Тоді виникає питання: чи можна ці розбіжності пояснити тільки випадковими обставинами, пов’язаними з обмеженою кількістю спостережень, чи вони є суттєвими, і підібрана крива погано вирівнює даний статистичний розподіл.

Тобто тут виникає задача перевірки статистичної гіпотези про закон розподілу деякої генеральної сукупності за даними вибірки (статистичного ряду). Як відомо, критеріями перевірки такої гіпотези є критерії згоди Пірсона і А.Н. Кол-могорова. У деяких випадках можна скористатись наближеним методом за допомогою статистичних оцінок ексцесу та асиметрії.

Приклад 14. У таблиці 3.5 наведено статистичний ряд розподілу похибок вимірювань кутів триангуляції.

Необхідно вирівняти цей розподіл за допомогою нормального закону

.

Таблиця 6.5

Розв’язання. Нормальний закон залежить від двох параметрів mxі sx. Згідно методу моментів за ці параметри візьмемо їх статистичні оцінки. Обчислимо їх за даними таблиці 3.5, беручи за представник кожного інтервалу його середину

Статистичну оцінку дисперсії обчислюємо через другий початковий момент

,

Отже, ;

Користуючись таблицею (див. Додаток, табл.2), обчислимо значення f(x) для центрів інтервалів за виразом

,

або за нормованими аргументами

через нормовану нормальну густину розподілу

.

Відповідні обчислення занесемо в таблицю 3.6.

Таблиця 6.6

Побудуємо на одному графіку гістограму і вирівнюючу криву розподілу
(див. Рис.3.14).

Рис. 6.14

Із графіка видно, що теоретична крива розподілу f(x) в основному зберігає особливості статистичного розподілу (гістограми). Розбіжності, що спостерігаються, можливо пояснються випадковими причинами. Але точніше на це питання можна відповісти, використавши критерій згоди c2. Проведемо відповідні обчислення, які подамо таблицею 6.7.

Таблиця6.7

Ймовірності pi та критерій Пірсона c2обчислюємо за формулами

,

Тепер, задаючи рівень значущості (тобто за ймовірністю ), та визначаючи число k = r – 1 – c (ступінь довільності), маючи на увазі, що в нашому випадку c = 2, r = 8, знаходимо табличні значення критерія (див. Додаток, табл.3) c2(a, k) = c2(0,05; 5) = 1,145.

Оскільки, , тобто 1,883 > 1,145, то гіпотезу H0про нормальний закон розподілу даного статистичного матеріалу потрібно відхилити. Інакше кажучи, з ймовірністю g = 1 – a = 0,95 не можна стверджувати про нормальний закон розподілу похибок вимірювань кутів триангуляції.

Зауважимо, що ймовірність g = 0,95 є досить високою і на практиці не завжди ставляться до висновків так вимогливо. Частіше вважається, що вже ймовірність g = 0,50 говорить про те, що гіпотеза H0є правдоподібною.

Тому, припустимо, що g = 0,80. Тоді c2(a, k) = 2,34 і гіпотеза H0приймається (бо 1,883 < 2,34), тобто у 80 % вибірок із генеральної сукупності дані не протирічать

припущенню, що похибки вимірювань кутів триангуляції підпорядковуються нормальному закону, а розбіжності, які спостерігаються на графіку і в таблиці пояснюються випадковими причинами.