Лінеаризація моделі

Для розрахунку стійкості в малому рівняння (1) і (2), що описують процеси в силовій частині і системі керування, лінеаризують. При цьому розглядаються нескінченно малі відхилення змінних стану dX(mT)=X_ξ(mT) відносно початкових умов X(mT). Розглянемо процес зміни значень змінних стану для t>mT. Значення змінних стану в довільний момент часу є функцією початкових умов і часу: Х(t) = f (X(mT),t). При розрахунку диференціалу змінних стану необхідно знайти похідні по кожній змінній:

,

або

. (3)

Лінеаризація рівнянь здійснюється за початковими умовами. Лінеаризація системи (1) є такою:

. (4)

Для системи керування, з врахуванням, що напруги u_r і u_g не залежать від змінних стану, отримаємо:

або

. (5)

Зважаючи на (5):

, (6)

де .

Похідна , згідно з рис. 1, містить δ-функцію, тобто = δ(u_zw). Для опису часової залежності δ(u_zw) розглянемо повну залежність s(u_zw(t)). Оскільки функція s(u_zw(t)) є функцією часу, рис. 2, то її похідна за часом описується наступним виразом:

(7)

де - функція Дірака.

Рис. 2. Залежність функції s(u_zw(t))

Похідна функції перемикання розраховується як складна функція:

, (8)

при чому . Для зручності похідна позначається . Оскільки ліві частини виразів (7) і (8) рівні, прирівняємо праві частини між собою:

. (9)

З цього виразу виражаємо :

. (10)

Зважаючи на те, що похідна >0 у випадку, коли >0, можна записати:

. (11)

Якщо використати наступну властивість δ-функції: , вираз (11) можна записати наступним чином:

, (12)

де - похідна функції u_zw(t_μ) в точці t_μ.

Так як система керування спочатку фіксує значення сигналу керування, а потім відбувається комутація, то значення функції обчислюється ліворуч від точки комутації t_μ. Таким чином:

, (13)

де .

Аналогічно:

. (14)

Підставляючи отримані вирази в лінеаризоване рівняння (4), отримаємо:

. (15)

При цьому .