Синтез из структур, одинаковых по характеру устойчивости

На рис.3.1а представлена структурная схема системы, которая находится в состоянии границы колебательной устойчивости. Здесь – постоянные времени нейтрального объекта и исполнительного механизма, динамика которых отвечает идеальным интегрирующим звеньям. Коэффициент передачи П-регулятора постоянен и равен k_p. Тогда передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид:

В системе наблюдаются незатухающие гармонические колебания, а фазовая траектория имеет одну особую точку – центр. Получим уравнение фазовой траектории.

а	б
Рис. 3.1. Структурные схемы САУ: а – исходная система с постоянной структурой; б – модифицированная система с переменной структурой.

Положим, что сигнал задания g=0[4], а свободное движение происходит за счет ненулевых начальных условий системы. В этом случае уравнение фазовой траектории примет наиболее простой вид:

, (3.1)

где – циклическая частота незатухающих колебаний, С – константа, которая определяется начальными условиями системы. Выражение (3.1) является уравнением эллипса с центром в начале координат фазовой плоскости.

При пересечении оси ординат фазовые траектории отсекают, согласно соотношению (3.1), отрезки , а при пересечении оси абсцисс – . Поэтому при ω>1 (α-структура) фазовые траектории вытянуты вдоль оси ординат и имеют вид представленный на рис. 3.2а, а при ω<1 (β-структура) вытянуты вдоль оси абсцисс и представлены на рис. 3. 2б, соответственно.

Заметим, что ИТ, двигаясь по фазовым траекториям, может приближаться или удаляться от точки равновесия . Так для α-структуры приближение к точке равновесия происходит в первом и третьем квадрантах (когда выполняется условие ), а для β-структуры – во втором и четвертом квадрантах (при условии ), как это показано на рис. 3.2в и 3.2г, соответственно[5].

Поэтому, если выбрать коэффициент передачи согласно правилу:

, (3.2)

а	б
в	г
Рис. 3.2. Фазовый портрет САУ для различных настроек регулятора: а – (α-структура); б – (β-структура); в, г – «хорошие» участки фазовых траекторий этих структур.

то можно взять от каждого фазового портрета нужную часть и, составив эти части вместе, получить фазовый портрет системы с устойчивым состоянием равновесия. Фазовая траектория будет представлять собой ломаную скручивающуюся спираль с особой точкой типа устойчивый фокус.

Для реализации отбора нужных частей фазовых портретов необходимо настроить соответствующим образом работу ψ-ячейки, как это представлено на рис. 3.1б.

Очевидно, что в данном случае входные сигналы ψ-ячейки определяются выражениями:

.

Поэтому при пересечении линий коэффициент передачи (а значит и величина управляющего воздействия) скачкообразно изменяется в соответствии с условием (3.2). Регулируемая величина изменяется при этом непрерывно как это представлено на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Переходные процессы в СПС при переключении между состояниями на границе устойчивости

Эффект транспортного запаздывания в системе будет сказываться на том, что переключения будут происходить не при пересечении вышеуказанных линий переключения, а позже. Поэтому наличие звена ИТЗ в канале передачи управляющего воздействия ухудшает качество процессов в системе. Строго говоря, оба состояния системы в этом случае являются неустойчивыми. Однако, и теперь, при определенных условиях (соотношении между временем запаздывания τ и величинами коэффициентов и ) система будет являться устойчивой. Это соответствует тому, что «хорошие» участки фазовых траекторий, представленных на рис. 3.2. в,г, являются теперь не эллипсами, а раскручивающимися спиралями, однако, характеристики спиралей остаются такими, что ИТ, двигаясь по ним, может приближаться к точке равновесия.