Совокупностей при выборочном наблюдении

В статистике совокупность, из которой производится отбор единиц, называют генеральной, а совокупность отобранных единиц – выборочной совокупностью. Эти совокупности характеризуются рядом показателей:

1) долей (р и w);

2) средним размером признака ( , );

3) ошибками выборки (μ, D).

1. Доля единиц, обладающих тем или иным признаком в генеральной совокупности, называется генеральной долей – р, а в выборочной совокупности – выборочной долей, или частостью, – w.

2. Средняя величина показателя в генеральной совокупности называется генеральной средней – , в выборочной – выборочной средней – .

3. Расхождение между выборочными и генеральными характеристиками называется ошибками выборки, причем отклонение генеральной доли от выборочной доли называется ошибкой при определении доли – μ_р, D_р, а генеральной средней от выборочной средней называется ошибкой при определении средней – μ_х, D_х.

Появление ошибок обусловлено тем, что:

– выборочному наблюдению, как и сплошному, свойственны ошибки регистрации как случайные, так и систематические;

– распространение результатов выборки на всю генеральную совокупность связано с возникновением ошибки репрезентативности. При достаточно большом числе наблюдений, должной организации выборки, величина таких ошибок выборки может быть доведена до сколь угодно малых размеров.

При соблюдении принципа случайного отбора ошибка выборки, прежде всего, зависит:

– от численности – чем больше численность выборки при прочих равных условиях, тем меньше величина ошибки;

– однородности совокупности – при одинаковой численности выборки ошибка будет меньше в той совокупности, в которой изучаемый признак варьирует в меньшей степени, то есть совокупность более однородна;

– метода отбора – при бесповторном методе, когда вероятность попасть в выборку возрастает с каждой отобранной единицей, ошибка выборки меньше, чем при повторном отборе.

Такая зависимость ошибки выборки от перечисленных факторов находит выражение в формулах средней ошибки выборки, которая характеризует среднюю величину отклонения характеристик генеральной и выборочной совокупностей.

При проведении выборочного наблюдения могут ставиться две задачи:

1. Измерить среднее значение самого варьирующего признака в генеральной совокупности на основе выборочной средней.

2. Определить генеральную долю по выборочным данным.

В связи с этими задачами определяются средние ошибки выборки, соответственно:

– для самого варьирующего признака –μ_х;

– для генеральной доли –μ_р.

Величина ошибки выборки зависит и от метода отбора, поэтому для ее определения используются различные формы.

Следовательно, когда выборочное обследование ставит задачей измерить среднее значение варьирующего признака в генеральной совокупности, тогда средняя ошибка выборки при определении средней рассчитывается в зависимости от метода отбора:

при повторном отборе

, (74)

где σ² – дисперсия варьирующего признака;

n – численность выборочной совокупности;

при бесповторном отборе

, (75)

где N – численность генеральной совокупности.

Когда же задачей ставится измерить долю признака в генеральной совокупности, тогда средняя ошибка выборки при определении доли рассчитывается в зависимости от метода отбора, соответственно:

при повторном отборе

, (76)

где w – доля единиц, обладающих данным признаком в

выборочной совокупности;

при бесповторном отборе

, (77)

Средняя ошибка выборки показывает, какие возможны отклонения характеристик выборочной совокупности от соответствующих характеристик генеральной. Однако о величине этой ошибки можно судить только с определенной вероятностью, то есть то, что генеральные характеристики не выйдут за определенные пределы, можно утверждать не с абсолютной достоверностью, а лишь с определенной степенью вероятности.

Чтобы определить изменение генеральных характеристик и утверждать, что эти характеристики не выйдут за данные пределы с определенной вероятностью, на основе средней ошибки выборки определяют предельную ошибку выборки (D), которая зависит от коэффициента доверия (t).

Доверительное число (t) указывает, что расхождение не превысит кратную ему среднюю ошибку выборки (μ),

D = t × μ, (78)

где t – коэффициент кратности ошибки, зависящий от

вероятности, с которой можно гарантировать, что

предельная ошибка не превышает t-кратной средней

ошибки.

Каждому значению коэффициента доверия соответствует значение вероятности.

Таблица 13

Соответствие коэффициента доверия и вероятности

Продолжение таблицы 13

Например, если t = 3, то с вероятностью 0,988 можно утверждать, что расхождение не превысит трехкратную среднюю ошибку выборки.

Зная выборочную среднюю величину ( ), долю признака (w) и предельные ошибки выборки (D), можно определить границы, в которых заключены генеральные средняя и доля:

для средней

Dх = t × х, (79)

то есть

(80)

или

– Dх ≤ ≤ + Dх; (81)

для доли

Dр = t × р, (82)

p – w = ±Dр, (83)

w – Dр £ p £ w + Dр, (84)

то есть с определенной вероятностью, соответствующей установленному коэффициенту доверия (t), можно утверждать, что изменение генеральных характеристик будет лежать в указанных пределах.

Данные формулы дают возможность не только определить ошибки, но и рассчитать предварительно, какую необходимо взять численность выборки, чтобы ошибка не превышала определенные заданные размеры.

Так, численность выборки при собственно случайном и механическом отборе определяется следующим образом (таблица 14).

Таблица 14

Численность выборки при собственно случайном и механическом отборе

Метод отбора	Формулы объема выборки
для средней величины	для доли
повторный
бесповторный